平面上的線性變換(Linear Transformations on the Plane)

平面上的線性變換(Linear Transformations on the Plane)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

矩陣是線性代數、離散數學、多變量微積分、多變量統計分析的基本工具。在高中課程中，對於矩陣的認識大致有兩種面向：首先，矩陣可以視為由許多數字組合而成的矩形陣列，可以一次處理大量的數字，例如一次聯立方程式與矩陣的關係、轉移矩陣的應用。此外，矩陣的加法和減法的運算規則也都證實這個觀點。另外，還有一個較為高階的觀點，就是將矩陣視為兩向量空間的線性變換之表達形式，這也使得矩陣成為線性代數主要處理的基本數學物件(object)。

事實上，凱萊(Arthur Cayley, 1821-1895)最早研究矩陣的動機，正是為了簡化線性變換  $$\left\{ \begin{array}{l} x’ = ax + by\\ y’ = cx + dy \end{array} \right.$$的表示，並且，矩陣的乘法也是來自兩次線性變換的合成(請參見本網站內由單維彰教授所寫〈矩陣的故事〉一文)。

所謂的線性變換，指的是對於每一個向量 $$v$$ ，變換 $$T$$ 對應輸出 $$T(v)$$ 。
如果對於所有的向量 $$v,w$$ ，滿足下列兩個條件，則變換 $$T$$ 稱為線性變換：

1.  $$T(v+w)=T(v)+T(w)$$ ；
2.  $$T(\alpha v)=\alpha T(v)$$，對於所有實數 $$\alpha$$ 都成立

換言之，這些條件保持了線性的成立：$$T(\alpha v+\beta w)=\alpha T(v)+\beta T(w)$$。進一步，每個線性變換 $$T$$ 都會和它的表示矩陣 $$A$$ 有一對一的關係。詳細的證明，有興趣的讀者，可以參考線性代數的相關書籍。不過，這卻說明了為何線性代數處理的是線性變換的問題，卻處處都是矩陣的運算。就以平面為例，若考慮以原點當成向量的起點，則每個異於原點的坐標都能對應到一個位置向量，例如點 $$A(3,2)$$，則 $$\vec{a}=\vec{OA}=(3,2)$$。

因此，我們考慮平面上的點 $$P(x,y)$$ 依變換 $$\left\{ \begin{array}{l} x’ = 2x + y\\ y’ = – x + 3y \end{array} \right.$$

對應到點  $$P'(x’,y’)$$  ，用矩陣表示，此變換可寫成 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]$$ ，

根據矩陣的運算性質，顯然  $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right](a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]) = a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]$$ 。

因此，這個變換是平面上的線性變換，而且，它的對應表示矩陣為 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]$$ 。

透過矩陣，我們容易進行運算，例如，$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right]$$，

表示將點 $$(3,2)$$ 線性變換到點 $$(8,3)$$ 。

並且，若逆變換(亦即矩陣 $$M^{-1}$$ 存在)成立的話，亦可輕鬆逆求由哪個點變換而成：

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right]$$

$$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]^{ – 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right] = \frac{1}{7}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 1}\\ 1&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right] = \frac{1}{7}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ {14} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right]$$。

此外，線性變換會將直線 $$AB$$ 變換成直線 $$A’B’$$；將線段 $$AB$$ 變換成線段 $$A’B’$$ 。

不妨設 $$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$$，則直線 $$AB$$ 上的任意動點 $$P(x,y)$$

滿足 $$\left\{ \begin{array}{l} x = {x_1} + t({x_2} – {x_1})\\ y = {y_1} + t({y_2} – {y_1}) \end{array} \right.$$，$$t$$為實數。

用矩陣表示，可寫成 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = (1 – t)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]$$ ，若線性變換的表示矩陣為 $$M$$ ，

則 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = M\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = M[(1 – t)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]]$$

$$ = (1 – t)M\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + tM\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right] = (1 – t)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}^\prime }\\ {{y_1}^\prime } \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}^\prime }\\ {{y_2}^\prime } \end{array}} \right]$$。

因此， $$P$$  點變換對應點 $$P'(x’,y’)$$ 會在直線 $$A’B’$$ 上，其中 $$A’,B’$$  是 $$A,B$$ 變換對應的點。

進一步，我們能考慮線性變換後的面積比問題，下面以 $$\Delta OAB$$ 為例，設 $$O(0,0),A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2})$$ ，

且線性變換 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]$$ 將 $$\Delta OAB$$ 變換到 $$\Delta O’A’B’$$ ，

易知 $$O'(0,0)$$，$$A'(a{x_1} + b{y_1},c{x_1} + d{y_1})$$，$$B'(a{x_2} + b{y_2},c{x_2} + d{y_2})$$。

則 $$\Delta O’A’B’$$ 的面積$$ = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{O’A’} \\ \vec{O’B’} \end{array}} \right||\; = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a{x_1} + b{y_1}}&{c{x_1} + d{y_1}}\\ {a{x_2} + b{y_2}}&{c{x_2} + d{y_2}} \end{array}} \right||$$

  $$ = \frac{1}{2}|ad{x_1}{y_2} + bc{x_2}{y_1} – bc{x_1}{y_2} – ad{x_2}{y_1}|$$

  $$ = \frac{1}{2}|ad({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}) – bc({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})|$$

$$ = \frac{1}{2}|({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})(ad – bc)|\; = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right||\;$$

$$ = \,|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|| \cdot (\frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}} \end{array}} \right||\;) = \,|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|| \cdot \Delta ABC$$面積

換言之，利用線性變換的表示矩陣之行列式值就能得出線性變換後的面積。
比方說，$$\Delta ABC$$ 的面積為 $$2$$，線性變換 $$T$$ 對應的矩陣為 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]$$ ，
則變換後的 $$\Delta A’B’C’$$ 的面積為$$\,|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right|| \cdot \Delta ABC$$面積$$=7\times 2=14$$。

至於平面上的有那些重要的線性變換，請參閱〈平面上重要的線性變換：旋轉、鏡射、伸縮和推移〉一文。