二項式定理的推廣（三）: 和算家的數學表（上）
二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）
(The generalization of Binomial theorem（III）：the mathematical table of wasan mathematicians)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
在〈二項式定理的推廣（一）〉與〈二項式定理的推廣（二）〉兩篇文章中，提到了江戶時期日本數學家（和算家）對二項式定理的推廣，包含利用無窮等比級數公式以及直觀地使用了「無窮多項式」的乘法，將二項式定理的幂次推廣至負整數的情況。並也說明他們如何利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）將二項式定理的幂次推廣至 $$1/2$$ 以及 $$1/n$$ 任意的情況。
有趣的是，江戶時期日本數學家進一步發展出各類數學「表」，用來幫助計算與推廣二項式定理，一般也作為記載數學知識之用。如表一所示，為 $$(1-x)^{-k}$$ 類二項展開式之係數表（這裡為方便讀者閱讀，筆者將原表格內容改以現代符號來表示，並受篇幅所限只列出當中的一部份），若我們僅看數字部份，則第一列的數字為 $$(1-x)^{-1}$$ 的各項係數；第二列為$$(1-x)^{-2}$$ 的各項係數；$$\cdots$$；第 $$k$$ 列為 $$(1-x)^{-k}$$ 的各項係數（然表中皆僅列到前七項）。
有了第一列之後，便可以任意地擴張整個表的內容，得到任意的 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式係數。
例如：
$$(1-x)^{-2}$$ 的 $$x^2$$ 項係數 $$3$$，便是上一列前 $$3$$ 項之和，即 $$a_{22}=a_{10}+a_{11}+a_{12}$$
$$(1-x)^{-3}$$ 的 $$x^4$$ 項係數 $$15$$，便是上一列前 $$5$$ 項之和，
即 $${a_{34}} = {a_{20}} + {a_{21}} + {a_{22}} + {a_{23}} + {a_{24}}$$
$$\cdots$$
$$(1-x)^{-k}$$ 的 $$x^n$$ 項係數，便是上一列前 $$n+1$$ 項之和，
即 $${a_{kn}} = {a_{k – 1,0}} + {a_{k – 1,1}} + {a_{k – 1,2}} +\ldots+ {a_{k – 1,n}}$$
表一 二項展開式指數負冪次時的係數表
為什麼上述規律成立呢？例如上述 $$(1-x)^{-2}$$ 的 $$x^2$$ 項係數為 $$3$$ 的原因是因為：
$$\begin{array}{ll}{(1 – x)^{ – 2}} &= {(1 – x)^{ – 1}}{(1 – x)^{ – 1}} \\&= (1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} +\cdots )(1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} +\cdots)\end{array}$$
其中，展開後的 $$x^2$$ 項，是依次由左括號裡的 $$1$$ 乘上右括號裡的 $$x^2$$ 加上左括號裡的 $$x$$ 乘上右括號裡的 $$x$$，再加上左括號裡的 $$x^2$$ 乘上右括號裡的 $$1$$ 而來的。因此其係數為 $$1+1+1$$。
又或者：
$$\begin{array}{ll}(1-x)^{-3}&= {(1 – x)^{ – 2}}{(1 – x)^{ – 1}}\\&= (1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} + 5{x^4} +\cdots )(1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} +\cdots )\end{array}$$
其中，$$x^4$$ 項係數 $$15$$，是依次由左括號裡的 $$1$$ 乘上右括號裡的 $$x^4$$，加上左括號裡的 $$2x$$ 乘上右括號裡的 $$x^3$$，加上左括號裡的 $$3x^2$$ 乘上右括號裡 $$x^2$$，加上左括號裡的 $$4x^3$$ 乘上右括號裡的 $$x$$，最後加上由左括號裡 $$5x^4$$ 乘上右括號裡的 $$1$$ 而來的。
因此其係數為 $$(1-x)^{-2}$$ 之前 $$5$$ 項係數和 $$1+2+3+4+5=15$$。
由上述「無窮多項式」之乘法，不難看出此規律為何會成立，利用此規律便可造出整張表。而此表便相當於二項式定理，當指數為負整數時的展開式係數表。另一方面，也由於江戶時期日本數學家並未發展出現代符號系統，因此無法較一般性地寫下二項展開式。必需藉由「表」的方式，記錄各項係數，同時借用此表來推廣相關規律。
最後，眼尖的讀者可能會發現，這張表上的數字與規律，事實上便是大家熟知的「巴斯卡三角形」，只不過它的排列方式是以左上角作為三角形的頂點。是不是很神奇呢？
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