三角函數圖形的平移與伸縮

三角函數圖形的平移與伸縮
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

在將角度轉換成弧度之後，對於實數 \(x\)，我們都可以將其考慮成弧度，進一步定義它的某個三角函數值。例如正弦函數，對每一個實數 \(x\)，定義 \(f(x)=\sin x\)。定義完六個三角函數之後，可以利用描點的方式繪出函數圖形。

例如 \(y=f(x)=\sin x\) 的圖形如下：    接下來，筆者將以 \(f(x)=\sin x\) 的圖形為例，來說明三角函數圖形的平移與伸縮如何作圖，

以及平移與伸縮對圖形的基本特徵如週期、振幅與極值的影響。

圖形的平移

首先，考慮 \(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 與圖形 \(y=\sin x\) 的關係。

因為 \(x\) 方向有變動，因此可考慮對應 \(y\) 值為 \(0,1,0,-1,0\) 這幾個點的 \(x\) 值，如下表：

描點繪出圖形如下圖中紅色之曲線，

可以看出其與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，為 \(y=\sin x\) 圖形向左平移 \(\frac{\pi}{2}\)。

從上圖中也可看出紅色的曲線 \(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 的圖形，與  \(y=\cos x\) 的圖形可完全重合，

因此可知 \(y=\sin x\) 的圖形往左移 \(\frac{\pi}{2}\)，即可得到 \(y=\cos x\) 的圖形。

由正弦與餘弦的關係亦可得到它們圖形的這個特性，因為 \(\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\cos x\)。

從這個例子推廣，考慮 \(y=\sin{(x-c)}\) 與圖形 \(y=\sin x\) 的關係，

以 \(y=\sin x\) 圖形為基礎，\(c>0\) 時，圖形往右移 \(c\) 單位；當 \(c<0\) 時，圖形往左移 \(c\) 單位。

接著是 \(y\) 方向的平移，考慮 \(y=\sin x+1\) 與 \(y=\sin x\) 兩圖形的關係。

先利用描點繪出 \(y=\sin x +1\) 的圖形：

繪出圖形如上右圖中紅色之曲線，

可以看出其與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，為 \(y=\sin x\) 圖形向上平移 \(1\) 單位，

此時函數的極大值為變為 \(2\)，極小值為 \(0\)。

從這個例子推廣，考慮 \(y=\sin x+d\) 與圖形 \(y=\sin x\) 的關係，

以圖形 \(y=\sin x\) 為基礎，\(d>0\) 時，圖形往上移 \(d\) 單位；

當 \(d<0\) 時，圖形往下移 \(d\) 單位，此時函數的極值會產生變化。

圖形的伸縮

考慮 \(y=\sin{2x}\) 與 \(y=\sin x\) 圖形的關係。

因為 \(x\) 方向有變動，因此可考慮對應 \(y\) 值為 \(0,1,0,-1,0\) 這幾個點的 \(x\) 值，如下表：

描點繪出圖形如上右圖中紅色之曲線，可以看出與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，

其圖形為 \(y=\sin x\) 圖形以原點為伸縮中心，\(x\) 方向伸縮 \(\frac{1}{2}\) 倍（\(x’=\frac{1}{2}x\)）。

因此原本 \(y=\sin x\) 圖形的週期為 \(2\pi\)，經過壓縮，可得 \(y=\sin{2x}\) 圖形的週期為 \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

從這個例子推廣，考慮當 \(b>0\) 時， \(y=\sin(bx)\) 與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，

以 \(y=\sin x\) 圖形為基礎，原點為伸縮中心，作 \(x\) 方向的伸縮，其週期變為 \(\frac{2\pi}{b}\)。

當 \(b<0\) 時，只須再考慮對 \(x\) 軸作對稱即可，

以 \(y=\sin{(-2x)}=-\sin{2x}\) 為例，其圖形如下：

接著是 \(y\) 方向的伸縮。考慮考慮 \(y=2\sin x\) 與 \(y=\sin x\) 兩圖形的關係。

先利用描點繪出 \(y=2\sin x\) 的圖形：

繪出圖形如上右圖中紅色之曲線，可以看出其與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，

為 \(y=\sin x\) 圖形以原點為伸縮中心，\(y\) 方向伸縮 \(2\) 倍（\(y’=2y\)）。

因此原本 \(y=\sin x\) 圖形的振幅為 \(1\)，經過伸縮，可得 \(y=2\sin x\) 圖形的振幅 \(1\times 2=2\)。

從這個例子推廣，考慮當 \(a>0\) 時，\(y=a\sin x\) 與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，

以 \(y=\sin x\) 圖形為基礎，原點為伸縮中心，作 \(y\) 方向的伸縮，其振幅變為 \(a\)。當 \(a<0\) 時，

只須再考慮對 \(x\) 軸作對稱即可，以 \(y=-2\sin x\) 為例，其圖形如下：

當 \(x\) 方向的平移與伸縮同時進行時，要特別注意其平移量的多寡。

例如 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 的圖形，考慮原本 \(y=\sin x\) 圖形中之 \((0,0)\) 這個點的變化，

當 \(2x-\frac{\pi}{2}=0\) 時，\(y=0\)，此時 \(2x=\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{4}\)，

亦即 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 為 \(y=\sin x\) 的圖形右移 \(\frac{\pi}{4}\) 後再作 \(x\) 方向伸縮 \(\frac{1}{2}\) 倍。

也就是說，要將 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 化成 \(y=\sin{(2(x-\frac{\pi}{4}))}\) 來考慮。

綜合論之，考慮 \(y=a\sin{[b(x-c)]}+d\) 圖形與 \(y=\sin x\) 圖形的關係，

在原本的 \(y=\sin x\) 圖形中，振幅變為 \(|a|\) 倍；週期變為 \(\frac{2\pi}{|b|}\)；

當 \(c>0\) 時，往右移 \(c\) 單位，當 \(c<0\) 時，往左移 \(c\) 單位；

當 \(d>0\) 時，往上移 \(d\) 單位，當 \(d<0\) 時，往下移 \(d\) 單位，此時函數的極值會產生變化。