古典力學

古典力學 (Classical Mechanics)
國立臺灣大學物理學系 劉仁宇

古典力學主要是探討物質的運動和彼此之間的交互作用，小至質點，大至星系、宇宙。適用範圍為較大的粒子和速度不能過快，因為粒子過小量子特性會逐漸明顯而進入量子力學的領域，速度過快則會產生相對論效應而不適用。現在已知自然界有四種基本作用力，即重力、電磁力、強交互作用力、弱交互作用力，而在古典力學中常見的正向力、內力等皆是電磁力，但是電磁力卻不遵守牛頓第三運動定律，這使牛頓力學會出現問題，幸好我們還有更廣義的古典力學系統可以使用，再加上電磁力通常會將動量、角動量、能量藏到空間中的電磁場，而古典力學處理的問題（如剛體問題）通常不包括這類作用，所以不致造成困擾。關於古典力學，本文將從牛頓力學介紹到近代使用的拉格朗日力學 (Lagrangian mechanics)。

牛頓力學相信大家都已經耳熟能詳了，第一定律為慣性定律，指的是若無其他作用力影響，物體將沿直線前進。第二定律為動量定律，指的是力 $$\vec{F}$$ 與動量 $$\vec{p}$$ 的關係 $$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}$$，如果質量不隨時間而變，該式就成為著名的 $$\vec{F}=m\vec{a}$$。第三定律為作用力與反作用力定律，提到若一物體對另一物體施力會得到相同大小、方向相反、作用在對方的反作用力，作用力和反作用力同時發生、同時消失。

是否還記得國高中許多題目在電梯加速時丟一顆球，結果對於電梯中的人來說，它的加速度不再是重力加速度？牛頓力學在這裡就會碰上一種困擾，即加速座標系中的物理定律的形式會改變。高中時採用假想力解決了這個問題，然而事實上它並沒有受到一個隱形的力，怎麼辦呢？此時對稱性的概念就派上用場。對稱性在此指的是物理定律在某一個座標轉換後仍然相同，所以我們只要找到某些定律並證明做座標變換後仍可適用，就大功告成啦。

拉格朗日力學是牛頓力學的推廣，而且可視為上述對稱性要求下的產物。例如，在無耗散力的情形下，利用牛頓定律可以推得系統之運動方程式是 $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_J}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_j}=0$$，其中 $$L=T-V=$$ 動能－位能，$$q_j$$ 則是廣義座標（廣義座標可以是最常用的直角座標系，也可以是球座標、圓柱座標或加速中觀察者使用的非慣性座標等）。用此方式描述力學行為時，其方程式形式都是一樣的，這就是對稱性概念的體現。以上想法在系統受到特殊限制力的作用時（例如火車在鐵軌上面跑會被鐵軌對它的施力限制而不會脫軌），也可以做些許修改便可適用。

拉格朗日力學還可以更進一步改寫成所謂哈密頓力學(Hamiltonian mechanics) 的形式。在此架構中，我們改用廣義座標搭配著廣義動量來描述系統的狀態，而廣義座標以及廣義動量隨時間的改變，則由一個稱為哈密頓函數 (Hamiltonian) 的物理量來決定。此處的廣義動量被定義為 $$\vec{p}\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot{\vec{q}}}$$，而哈密頓函數通常即為系統的能量。

看到這裡應該覺得前人很偉大吧，利用拉格朗日力學或是哈密頓力學和取適當的廣義座標系就可以系統化地解決任何古典力學的問題。

參考文獻

1. Thornton, S. T., & Marion, J. B. (2008), Classical Dynamics for Particles and Systems, Boston：Brooks/Cole Cengage Learning。
2. Goldstein, H., Poole, C. P. & Safko, J. L. (2001), Classical Mechanics, Addison-wesley