數學

這是關於微積分一系列文章的第一篇，微積分是高中基礎數學的總結，更是進入現代數學之門。本文淺談函數的重要性，並藉由它在微積分當中所扮演的角色，簡單介紹何謂微分與積分。數、函數、空間是數學研究的主要對象，分別發展出代數學、分析學與幾何學。函數（function）是微積分的主角。我們要對函數做微分並且做積分，然候作各種的應用，包括應用到數學本身以及大自然的變化與運動現象。 函數的重要性是，它們代表著自然律（laws of nature）或是更廣泛的數學律（laws of mathematics），反應著數學、自然或人文現象的量與量之間的關係，表現為各種模型（models）。函數有無窮多，其中只有少數有名字、有公式，大多數是屬於沒有名字、沒有公式的無名英雄。 在有名字、有公式的函數中，我們最熟悉的是：多項函數、三角函數、指數函數、對數函數、雙曲三角函數、有理函數、無理函數、．．．等。這些函數也是微積分要研究的首要對象。

微積分的誕生具有長遠的歷史發展過程，本文提及促成微積分誕生的四類問題：「求積問題」、「求切線問題」、「求極值問題」以及「研究物體的運動問題」。此四類問題可歸結為求積與求切線兩大問題，前者發展出「積分學」，後者則發展出「微分學」。問題是數學探索與思考的出發點。數學之發源於問題，就好像人類古文明之發源於大河旁一般，非常自然。提出問題，再尋求問題的解答（The art of problem posing and problem solving）乃是啟開智慧與思想的最佳法門。更確切地說，數學是人類在長期探索自然的過程中，不時地叩問自然乃至逼問自然，所創造發展出來的產物。 到底是哪些問題促成了微積分的誕生呢？微積分起源於要解決下面四類古老而實用的問題，人們才創造出解決問題的概念與方法，經過長久的改進與演化，終於發展出一門深刻而漂亮的有系統學問。

本篇透過極限的概念，分別解說切線斜率與曲線下面積的求法。

微積分學的發展歷史源遠流長，我們只選取古希臘偉大的數學家阿基米德（Archimedes, 287-212 B.C.）以及17世紀初的費瑪（Fermat, 1601-1665）當作樣本來介紹。 首先我們看阿基米德如何使用「窮盡法」（Method of Exhaustion）來求拋物線弓形領域的面積。

面對求積這個難題，在阿基米德之後，一直等到文藝復興時代的數學家才有更進一步的發展。本篇呈現費瑪巧妙的求積方法－「動態窮盡法」。

求極值的方法眾多，這裡將呈現費瑪獨特的求極值法—「擬似相等法」，此法引出了「無窮小量」，這當中已經含有微分學的概念。

求積問題與求極值問題的探索，讓費瑪悄悄來到微積分的大門口，但欠缺臨門一腳。牛頓從費瑪的求極值法中，悟出了微分法的概念，才真正開啟了這扇大門。