希爾伯特的《幾何學基礎》與形式主義（Formalism and David Hilbert’s Foundations of Geometry）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
一般人若對於數學哲學流派中的形式主義（formalism）感興趣，那麼，最值得參考的經典文獻，莫過於希爾伯特（David Hilbert, 1862-1943）的《幾何學基礎》（The Foundations of Geometry）。這本書源自哥廷根大學 1898-1899年冬季班有關歐氏幾何課程的教材。
《筭數書》：超過兩千年的漢簡數學書（Suan Shu Shu: Han Bamboo Math Text over Two Thousand years）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
目前在全世界的古代出土文物中，超過兩千年的數學文本可以說是鳳毛麟角。近二十年來，在中國發現的秦簡《數》與漢簡《筭數書》，就是極珍貴的例外，非常值得我們一起來分享這些世界文化遺產的價值與意義。在本文中，我們只介紹《筭數書》。
阿拉伯的數學（Arabic Mathematics）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
在人類歷史中，阿拉伯人的數學發展，正如其他文明一樣，有其獨特的一面。不過，由於回教與基督教的長期衝突，使得由西方學者所主導的數學史研究中，對於阿拉伯數學始終很少給出應有的肯定與評價。因此，我們特別在此高瞻計畫中，簡介阿拉伯數學的成就及意義。希望經由此一文明窗口，讓我們一起欣賞異文化的數學意義與價值。
如何閱讀祖沖之？（How to Read Zu Chongzhi?）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
對於很多人來說，祖沖之並不是陌生的中國歷史人物，譬如說吧，在一些中國古代科學家的傳記書寫中，都一定可以找到他的故事，完全不需要我們在此狗尾續貂。
不過，敘說他的生平事蹟，並著重與他的數學成就比較相關的部份，乃至於他如何看待他自己的貢獻，從傳記書寫與閱讀的觀點來看，似乎還是值得一說再說。在此，我們打算「重建」有關他的歷史故事。其中，還要特別說明有關圓周率近似值「祖率」$$\frac{355}{113}$$（日本數學史家三上義夫所命名）之價值與意義。
虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-下（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
連結：虛數√-1的誕生-上
在〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的起源〉(上) 一文中，我們看到卡丹諾利用立方體來論證三次方程解法的正確性。在這樣的看法下，方程式的「根」代表著邊長。因此，需要開一個負數的平方根，代表著這個問題是無解，沒有實際意義的。
卡丹諾在處理二次方程時，便是這樣的想法。當他考慮將 $$10$$ 分成兩個數，且兩數乘積為 $$40$$ 的問題，即 $$x(10-x)=40\Rightarrow x^2+40=10x$$，就清楚地提到：「這種情形或問題是不可能的。」不過，他仍可用二次公式得到兩個解 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。
同時，他也指出：我們若「能放下心中的折磨」，直接計算兩數的乘積，便能得到 $$25-(-15)=40$$，符合原來題設。他無法說出這件事的意義何在，只好利用「算術就是這麼精巧又不中用。」的說法來交待。因此，卡丹諾對於出現 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的現象，也是採取迴避的策略吧。
虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-上（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
新北市中正國中數學科陳鳳珠老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
一般人都知道虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根，在合理的推論之下，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 應該是誕生在二次方程的解法之中才是。如果你也這樣以為，那麼，數學史家的研究結果，絕對出乎你的意料之外！
在數學發展過程中，早期數學家面對方程式 $$x^2+1=0$$ 時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然，也就無須發明一個數，來表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不過，當我們回顧虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，也就是說：虛數 $$\sqrt{-1}$$ 並非誕生在二次方程式的解法之中，而是在解三次方程時現身。
一次方程式解法
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
目前在中學數學課程的一次方程式單元，都涉及數學應用到現實世界的問題。因此，當我們發現歷史上，幾乎學習過數學的每一個人，從埃及的書記到中國的官吏都曾經發展出這類問題的求解技巧時，就沒什麼好驚訝的！
這些求解實質上都採用算術進路（arithmetic approach），也就是，他們都運用了算術的想法，解決實質上是代數的方程式問題。不約而同地，古埃及和古中國數學家都利用了所謂的「虛位法」（method of false position），有所不同地，是古埃及使用「單設法」(method of single false position)，而古中國則使用「雙設法」(method of double false position)。
0 的發明
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
目前數學普及中譯書籍中有兩本與數目 0 有關：《從零開始》與《零的故事》。本文增補其中有關古代中國數學的相關內容。
在數學史上，$$0$$ 可以說是一個相當「年輕」的概念。對很多早期的人類文明來說，譬如古希臘哲學家畢達哥拉斯，數目（number）$$1$$ 並不是數目，而是萬事萬物的根本，頗有一點「道生一」的味道。這種認知並非僅限於哲學家而已，古希臘的歐幾里得 (Euclid) 也不例外，他在《幾何原本》中所定義的「自然數」（或整數，whole number），就是從 $$2$$ 開始的。
後來，$$1$$ 雖然也被納為自然數，但是，代表「全無」的 $$0$$ 概念，畢竟很難從代表「全有」的 $$1$$ 概念發展出來，希臘數學史就是最好的見證之一。平心而論，利用一個「有形的」實體（譬如「$$0$$」）去代表「沒有」或「空無」，的確是人類認知的一大躍進。
位值計數系統（Positional numeration system）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
本文介紹位值記數系統的意義。
所謂的位值計數系統，必需滿足下列的條件：