黃金比例Ⅰ(Golden Ratio Ⅰ)
黃金比例Ⅰ(Golden Ratio Ⅰ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯
摘要:本文首先定義黃金比例，接著介紹黃金比例與 等腰三角形的關係、黃金比例與黃金矩形的關係、黃金比例與等角螺線的關係、黃金比例與金字塔的關係。
歐幾里得(Euclid, ca.300B.C.)的《幾何原本》(Elements)是一部劃時代的著作，它偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。
數學
三次方根與三角函數
三次方根與三角函數 (Cubic Roots and Trigonometric Functions)
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
摘要：解三次方程式用卡當公式，卡當公式需開複數的立方根，開複數立方根可用棣美弗定理，棣美弗定理又和三角函數脫不了關係，換言之即使低次如三次方程式也和三角函數密切相關，本篇文章就上述幾者的關係做個討論。
棣美弗定理與複數方根
棣美弗最有名的定理，就是高中課本裡的「棣美弗定理」：
$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$
※ 此公式棣美弗證明了 $$n$$ 為自然數時成立，1749年時尤拉則證明了 $$n$$ 為實數也成立。
在高中學習棣美弗定理最主要能幫助我們找複數的方根。
恆寬曲線（Curve of Constant Width）
恆寬曲線（Curve of Constant Width）
台北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立台灣大學數學系翁秉仁教授責任編輯
摘要：本篇文章從「恆寬曲線」談起，最後回到圓的定義，藉由恆寬與圓的差別體會圓的精妙。
何謂恆寬曲線
工程上稱某種曲線為「恆寬（constant width）曲線」：平面上一凸形封閉曲線，不論如何轉動，其寬度永遠不變，則稱之。所謂「寬度」是指平行線夾住某封閉曲線時，平行線間的距離即是。簡單說來，若以恆寬曲線作為輪子，並在其上放置板子，則乘客於上頭並不會顛簸；反之，若其非恆寬曲線，則當輪子轉動時板子間的寬度就改變了，乘客想必非常暈眩；舉例來說若用梯形當輪子，因為一轉動板子間的寬度就變了，所以梯形不是恆寬曲線。
初等的機率論（10）推理統計學簡介（Brief Introduction to Statistical Inference）
初等的機率論（10）推理統計學簡介
（Elementary Probability Theory-10. BriefIntroduction to Statistical Inference）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：這是一系列「初等的機率論」文章中的最後一篇，在對機率有了充足的概念後，這裡舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。
機率論最早的應用是賭局，而賭局也是機率論的發源地。隨著機率論的發展，它的應用也越來越寬廣，最先是數理統計學，再來是統計力學、量子力學，以及社會科學、醫學、經濟學。只要是涉及重複的、大量的觀測數據，都會受到機率論與統計學的管轄。
初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？（What are Probability and Law of chance？）
初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？
（Elementary Probability Theory-9. What are Probability and Law of chance？）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本文以丟銅板問題，逐步探討機率論中幾個重要的法則：「大數法則（law of large numbers）」、「Poisson小數法則（Poisson’s law of small numbers）」、及「中央極限定理（central limit theorem）」。
機率論的兩個核心問題就是要問：
什麼是一個事件的機率（probability）？
什麼是機率法則（the laws of chance）？（甚至是，有沒有機率法則？）
要探索這些問題，我們要遵循德國偉大數學家D. Hilbert (1862-1943) 所說的一句名言：
這是機率論的美妙與幸運，也許是機運女神泰姬（Tyche）特別眷顧機率論吧。
初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質（Random Variables and Its properties）
初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質
（Elementary Probability Theory-8. Random Variables and Its properties）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本文分別介紹「離散型」與「連續型」機率分佈（probability distribution）中幾個重要的分佈：「二項分佈（binomial distribution）」、「Poisson分佈」、「常態分佈（normal distribution）」，進而導出其期望值與變異數。並將「Markov不等式」與「Chebyshev不等式」以機率的語言重述之。
一個隨機實驗做下來，就有初等機率空間 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$，這是精煉隨機實驗所得到的原始機率資料。然而，我們有興趣觀測的往往是某個變量 $$X$$，定義在 $$\Omega$$ 上的一個實值函數 $$X:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$$。這就是隨機變數的概念，在統計學上又叫做統計變量。$$X$$ 將 $$(\Omega,\mathfrak{A},P)$$ 上的機率資料，重新改訂成方便於使用的資訊。例如丟兩個骰子，我們要觀測「點數和」是多少。在每一賭局中，賭徒要觀察輸贏額。
初等的機率論（7）獨立事件的概念（The Concept of Independent Events）
初等的機率論（7）獨立事件的概念
（Elementary Probability Theory -7. The Concept of Independent Events）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：本篇從兩個事件「獨立」的概念談起，給出兩個事件及 $$n$$ 個事件獨立的定義，並與排列組合的「乘法原理」連結。最後以兩個反例說明三個事件獨立所需滿足的條件。
機率空間是測度空間的特例，因此有人說機率論是測度論一章。不過，機率論卻有獨特的獨立性（independence）概念，它扮演著關鍵性的角色，從而得到豐富而美麗的機率結果，這使得機率論有別於測度論。
獨立性是機率論的核心概念，探索機率法則（laws of chance）時，我們經常會遇到如下的狀況：將一個銅板獨立地丟 $$n$$ 次，或一個隨機實驗獨立地作 $$n$$ 次。機率法則包括大數法則、Poisson小數法則與中央極限定理，這些都是機率論的重要結果。
初等的機率論（6）條件機率與Bayes公式
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初等的機率論（5）有限機率空間（Finite Probability Space）
初等的機率論（5）有限機率空間
（Elementary Probability Theory-5. Finite Probability Space）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯
摘要：這裡針對隨機實驗所有可能出現結果為有限個的情形，探討其機率模型，並給出古典機率的定義，根據此定義及其衍伸的演算規則，舉出四個例子略作說明。
機率論研究的是隨機現象，例如丟銅板、骰子、量子力學、天氣、統計物理、命運、股票之漲跌、經濟的波動、…等等。機率論又是數理統計學與統計物理學與量子力學的基礎。
面對一個隨機現象，首先是對一個隨機現象作隨機實驗，可能是真的做實驗，也可能只是作個觀察（如天氣現象）。隨機實驗會發生什麼結果，事前說不準（uncertainty）。一個事件的發生與否也說不準，於是採用機率的語言來描述事件發生的可能性之大小，例如我們常聽說：明天下雨的機率是 $$30{\%}$$（$$= 0.3$$）；丟一個公正銅板出現正面的機率是 $$1/2$$；丟一個骰子出現三點的機率是 $$1/6$$。