用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
接著，我們就來證明「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」會成立：
【証明】整個定理的証明可分為三部份：
1. 上面的方程式(*)一定是表示平面方程式；
2. 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線$$L$$；
3. 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式。
用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
在空間中平面與直線的章節時，常會遇到這樣的問題：
求過二平面\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)的交線，且過點\(Q(2,-1,-1)\)的平面方程式。
基本上，這類問題的解法常是先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一點坐標，就能變成「求包含已知一線及線外一點的平面方程式」的基本問題類型。解法如下：
兩平面交線\(L\)的方向向量\(\vec{v}\)同時垂直兩平面的法向量，
故\(\vec{v}~//~(2,1,0)\times(0,1,2)=(2,-4,2)=2(1,-2,1)\)，可取\(\vec{v}=(1,-2,1)\)。
接著，在交線\(L\)取一點\(P\)，需同時滿足\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)，
故取\(z=0,~y=0,~x=2,~\therefore P(2,0,0)\)，
所求平面包含直線\(L\)與點\(Q(2,-1,-1)\)，
因此，法向量\(\vec{n}~//~\vec{v_L}\times\vec{PQ}=(1,-2,1)\times(0,1,1)=(-3,-1,1)\)，
取\(\vec{n}=(3,1,-1)\)，故所求平面方程式為 \(3x+y-z-6=0\)
改變歷史進程的17個方程式
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師編譯/國立臺灣大學物理系王名儒教授責任編輯
編譯來源：The 17 Equations That Changed The Course Of History
數學圍繞在我們四周，它在許多方面型塑(shaped)我們對這個世界的理解。
2013年，身為數學家，也是科普作者的伊恩．史都華(Ian Stewart)出版了《改變世界的17個方程式》(The 17 Equations that Changed the World)一書。近來，我們在Dr. Paul Coxon的Twitter (由數學輔導老師，也是部落客的Larry Phillips所註冊)上發現這個他摘錄書中方程式所成的簡便表格：
無限的觀念～0.9是否等於1？
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
一、前言
目前高中教材中，有兩個部分涉及「無限」。首先是數學I，在一開始介紹數系的時候，學生要學會將循環小數化成分數。
在此之前，學生從來沒有接觸過「無限」的概念，也沒學過無窮等比級數如何求和，因此教師通常都是這樣教的：例如要將 \(0.\overline{12}\) 化成分數，令 \(0.\overline{12}=x\)，因為
\(x=0.\overline{12}=0.121212…\)
\(100x=12.121212…\)
將兩式相減得 \(99x=12\)，因此 \(x=\frac{12}{99}\)
這樣計算推理邏輯有個前提必須是假設 \(0.\overline{12}=0.121212…\) 這個無限小數是收斂的，其收斂值存在才能假設它為 \(x\)，並且以 \(x\)去進行運算。
由問題的起源看導數的定義II
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
在前一篇文章中，我們已經看過費馬求極值的方法了，也就是當 \(e\) 是個很微小的量時（亦即趨近於 \(0\)），讓 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 這個值「盡可能的逼近」\(0\)。
接下來我們來看看牛頓求切線的方法。
牛頓求切線的方法
下面的方法出現在牛頓的《曲線求積術》，撰寫於 1693 年，並於 1704 年作為《光學》一書的附錄正式發表。牛頓以求切線的策略與方法，說明他的「流數方法（即求導數的方法）」，並舉函數為 \(y=x^n\) 為例，實際演練操作他的方法。
由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
前言
在高中的微積分教學脈絡中，一定先教授極限的觀念與函數的極限，然後在進入微分單元時，直接定義何謂導數，即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)，然後再說明導數的意義以及應用。
然而為何導數要這樣定義？我們在定義一個數學物件之前，通常是問題導向的，有需要，才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求？為何會導致這樣的定義形式？在這一系列的文章中，筆者試圖透過這一段數學史的發展，從問題的源頭說起，經由費馬求極值與牛頓求切線的方法，並利用問題來學習與思考，最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。
橢圓的參數式
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
圓的參數式
在二上的三角單元教學中，我們曾經學習過利用三角函數將直角坐標系上的點坐標，轉換成極坐標。對每一個直角坐標系統上的點 \(P(x,y)\)，設它與原點的距離 \(\overline{OP}\) 為 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\)（\(\overrightarrow{OP}\) 為終邊）的角度為 \(\theta\)，
因此 \(P\) 點的極坐標表示為 \(P[r,\theta]\)。
既然同一點的坐標有兩種表徵，那麼直角座標與極坐標之間又該如何轉換呢？此時由廣義角的三角函數值定義可知 \(\cos\theta=\frac{x}{r},\sin\theta=\frac{y}{r}\)，因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。
亦即直角座標系統中的 \(x\) 與 \(y\) 坐標，可利用三角函數轉換成以極坐標中的 \(r\) 與 \(\theta\) 來表示。
最短路徑問題
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
在數學III的直線單元中有這樣的問題：在坐標平面上，給定兩點 \(A\) 與 \(B\)，以及一直線 \(L\)，想要在 \(L\) 上找一點 \(P\)，使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值。這個 \(P\) 點要怎麼找呢？我們先把 \(L\) 特殊化，從 \(x\) 軸上的點來考慮。
例題1
坐標平面上給定兩點 \(A(1,3),B(5,-1)\)。
在 \(x\) 軸上找一點 \(P\)，使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值，\(P\) 點坐標為何？
解：如圖，\(A,B\) 在 \(x\) 軸的異側。
由於兩點連線會與 \(x\) 軸相交，且兩點間直線距離最近，
因此當 \(P\) 點為 \(\overline{AB}\) 與 \(x\) 軸的交點時，此時 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值。
因為 \(\overleftrightarrow{AB}\) 的方程式為 \(x+y=4\)，故與 \(x\) 軸的交點為 \(P(4,0)\)，
此時所求最小值為 \(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)。
由例題1可知，當 \(A,B\) 在所給直線 \(L\) 的異側時，
所要找的 \(P\) 點即為 \(\overleftrightarrow{AB}\) 與 \(L\) 的交點。
那麼當 \(A,B\) 都在 \(L\) 的同側時，要如何找到 \(P\) 點呢？
座標平面上的旋轉變換
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
二階方陣所對應的旋轉變換
將平面上的點 \(P(x,y)\)，以坐標軸原點 \(O\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(\theta\) 角（當 \(\theta<0\) 時可考慮為順時針旋轉），得到點 \(P\) 經旋轉之後的像為 \(P’=(x’,y’)\)，這樣的變換稱為旋轉變換。
我們先以極坐標來表示 \(P\) 點坐標：
在坐標平面上，若 \(P\) 點到原點 \(O\) 的距離為 \(r\)，以 \(x\) 軸正向為始邊，
逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\) 的角度為 \(\alpha\)，那麼點 \(P(x,y)\) 的極坐標為 \(P[r,\alpha]\)，
且 \(x=r\cos \alpha,y=r\sin \alpha\)，
並可得點 \(P\) 經逆時針旋轉 \(\theta\) 角的像 \(P’=(x’,y’)\) 的極坐標為 \(P'[r,\alpha+\theta]\)，
其中 \(x’=r\cos {(\alpha+\theta)},y=r\sin {(\alpha+\theta)}\)。
直式開方法開平方根
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
目前的高中數學教材中，已經不再教授開平方的直式開方法，在課綱中只要求學生會估計平方根的近似值即可。然而在統計部分的單元學習中，仍有些題目要求學生計算某些牽涉到平方根統計量的近似值，例如標準差。在筆者的教學經驗中，常有學生會問如何開平方根，因此筆者將在此篇文章中，以中國古算的開方術為基礎，介紹所謂的直式開方法。
《九章算術》〈少廣〉卷中有問：
今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
開方術曰：置積為實。借一筭，步之，超一等。議所得，以一乘所借一筭為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除。折法而下。復置借筭，步之如初，以復議一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副從定法。復除，折下如前。
這一段開方術，看起來不太好理解，由於古時候中算以算籌代筆，計算的過程實際上就是算籌的操弄，因此術文中有一些是算籌所帶來的難度，在此忽略不管。同時在劉徽的注釋中，他也提供了一個相當清楚簡潔的幾何解釋。