幾何

和算裡的弧長之冪級數公式（二）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：和算裡的弧長之冪級數公式（一）

〈和算裡的弧長之冪級數公式（一）〉裡，介紹了和算家建部賢弘所造的弧長冪級數公式，本文中，我們將以建部賢弘所用的方法為例，說明當時的數學家如何造出與弧長相關的正確冪級數公式。

建部賢弘《綴術算經》書中所提出的第十二個問題為「探弧數」，當中他詳細地說明了如何造出弧長公式的方法。假設圓直徑為一尺，欲求某段「弧長之半的平方」之值，建部賢弘首先「截矢一忽之弧二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造十六斜，逐如此倍截之數，求各截半背冪，依累遍增約術，得定半背冪。」這裡他先利用了割圓的方式，計算出弧長的近似值，再以他發明的數值逼近方法「累遍增約術」，求得弧長近似值五十餘位，並稱之為「定半背冪」。

換句話說，上述定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 這個數值，是建部賢弘所計算出，並認定正確的弧長近似值。
接著，建部據此數值，反過來探求弧長之冪級數公式。

和算裡的弧長之冪級數公式（一）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

早在中國漢朝《九章算術》裡，便出現了圓面積及弓形面積公式，然而，後者所給的僅是近似公式。隨著中算書的傳入，江戶時期日本數學家們對於圓周率與弧長公式的研究，卻深感興趣。前者顯然受到中國的影響，後者卻是十足的和算產物。譬如說吧，十七世紀初期，今村知商的《豎亥錄》（1639）就提出了新的弧長公式（其中，我們以 \(R\) 表示圓之直徑、\(c\) 表示弦、\(a\) 表示矢、以 \(s\) 表示弧長）：

\(s = \sqrt {(R + \frac{a}{2}) \cdot 4a}\)

當然，這同樣也只是近似公式。若我們進一步考察和算早期發展過程所出現的弧長公式，多與

\(s = \sqrt {{c^2} + ({\pi ^2} – 4){a^2}}\)

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

接著我們來看些可用「平面族」解決的問題吧！事實上，空間中的直線方程式可表成兩面式，因此，在求與直線條件有關的平面方程式問題上，「平面族」常有意想不到的妙用。
看看下面的例子：

求包含$$x$$軸，且過點$$A(1,-1,2)$$的平面方程式。

(解法一)
在$$x$$軸上取一點$$B(1,0,0)$$，且$$x$$軸的方向向量為$$\vec{v}=(1,0,0)$$，

由於所求平面包含$$x$$軸，並過$$A(1,-1,2)$$，

平面的法向量$$\vec{n}~//~\vec{v}\times\vec{AB}=(1,0,0)\times(0,1,-2)=(0,2,1)$$，故取$$\vec{n}=(0,2,1)$$

因此，平面方程式為 $$2y+z=0$$

(解法二)
由於$$x$$軸的直線方程式可寫成$$\begin{cases} y=0\\ z=0\end{cases}$$  (兩面式)，

根據平面族定理，包含$$x$$軸的任意平面可以寫成$$y+kz=0$$，

將$$(1,-1,2)$$代入，得 $$k=\frac{1}{2}$$

所以，平面方程式為 $$y+\frac{1}{2}z=0\Rightarrow 2y+z=0$$

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)

接著，我們就來證明「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」會成立：

【証明】整個定理的証明可分為三部份：

1. 上面的方程式(*)一定是表示平面方程式；
2. 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線$$L$$；
3. 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式。

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在空間中平面與直線的章節時，常會遇到這樣的問題：

求過二平面\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)的交線，且過點\(Q(2,-1,-1)\)的平面方程式。

基本上，這類問題的解法常是先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一點坐標，就能變成「求包含已知一線及線外一點的平面方程式」的基本問題類型。解法如下：

兩平面交線\(L\)的方向向量\(\vec{v}\)同時垂直兩平面的法向量，
故\(\vec{v}~//~(2,1,0)\times(0,1,2)=(2,-4,2)=2(1,-2,1)\)，可取\(\vec{v}=(1,-2,1)\)。
接著，在交線\(L\)取一點\(P\)，需同時滿足\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)，
故取\(z=0,~y=0,~x=2,~\therefore P(2,0,0)\)， 
所求平面包含直線\(L\)與點\(Q(2,-1,-1)\)，
因此，法向量\(\vec{n}~//~\vec{v_L}\times\vec{PQ}=(1,-2,1)\times(0,1,1)=(-3,-1,1)\)，
取\(\vec{n}=(3,1,-1)\)，故所求平面方程式為 \(3x+y-z-6=0\)