遞迴關係（二）（recurrence-relation-2）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯
連結：遞迴關係（一）
摘要：本篇介紹99課綱中提及的五個「一階遞迴公式」。
前面談到遞迴關係是指 $$a_{n}=F(a_{1},a_{2},…,a_{n-1})$$ 。一個簡單的情況是要決定目前這一項，只牽涉到前一項。即
$$a_{n}=F(a_{n-1})$$
這稱為「一階線性遞迴關係」。這一類遞迴式基本上是相對好處理的，正常的情況下一般項的解也能求得出來（當然也有不能算的）。這篇短文稍微介紹一下99課綱中特別提及的五個「一階遞迴公式」（足碼略有調整，但本質上是一樣的）。課綱提及這些遞迴式，不僅僅因為能算，而且也因為有根本的重要性。
遞迴關係（一）（Recurrence relation-1）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授
摘要：這是一系列關於「遞迴關係」文章的第一篇，本篇先介紹遞迴的基本概念，並簡述它在科學發展上的重要性。
九九的數學課綱（100 學年度高一開始使用）和以往相比有相當大幅度的更動，一個結構性的調整的是排列組合放到高一來教了。因此現在（100 年）是奇妙的一年，高一和高二同時在教排列組合，這一點可能要經過許多年師生才能調適好。
新的課綱中的總架構中的數學II（高一下學期）處理和離散數學相關的部分，第一部份為數列與級數，當作整個數學 II 的預備知識。在此部分中，課綱中特別強調了遞迴的概念，茲節錄如下：
本章節作為有限數學的先備知識，主要是讓學生發現數列的規律性，歸納成公式，並用數學歸納法加以證明。核心的公式為一階線性遞迴關係。（中略）。級數部分包括基本的求和公式與 $$\Sigma$$ 符號的操作。
可看出遞迴的確是新課綱中強調的思想之一。
費波納契的遊戲(the game of Fibonacci)
國立台灣師範大學數學系許志農教授/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯
摘要:本文將介紹一道與費波納契數列有關的遊戲。
費波納契數列 \(<f_n>\) 是滿足 \(f_1=1,f_2=1\) 及遞迴關係
\(f_n=f_{n-1}+f_{n-2}~~~(n\ge 3)\)
的數列（後項等於前兩項之和），其前幾項可以算得為
\(f_3=2,~f_4=3,~f_5=5,~f_6=8,~f_7=13,~f_8=21,\cdots\)
複數的極式（The Polar Form of Complex Numbers）
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯
摘要：定義複數的極式及其相關名詞，導出複數相乘或相除的極式關係，並連結平面向量的內積與二階行列式。
就好像坐標平面上的點有直角坐標 \(P(a,b)\) 和極坐標 \(P[r, {\theta}]\) 兩種表達方式，複數也有標準式和極式兩種表達方式。
黃金比例Ⅰ(Golden Ratio Ⅰ)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯
摘要:本文首先定義黃金比例，接著介紹黃金比例與 等腰三角形的關係、黃金比例與黃金矩形的關係、黃金比例與等角螺線的關係、黃金比例與金字塔的關係。
歐幾里得(Euclid, ca.300B.C.)的《幾何原本》(Elements)是一部劃時代的著作，它偉大的歷史意義在於它是用公理法建立起演繹體系的最早典範。
虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-下（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
連結：虛數√-1的誕生-上
在〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的起源〉(上) 一文中，我們看到卡丹諾利用立方體來論證三次方程解法的正確性。在這樣的看法下，方程式的「根」代表著邊長。因此，需要開一個負數的平方根，代表著這個問題是無解，沒有實際意義的。
卡丹諾在處理二次方程時，便是這樣的想法。當他考慮將 $$10$$ 分成兩個數，且兩數乘積為 $$40$$ 的問題，即 $$x(10-x)=40\Rightarrow x^2+40=10x$$，就清楚地提到：「這種情形或問題是不可能的。」不過，他仍可用二次公式得到兩個解 $$5+\sqrt{-15}$$ 和 $$5-\sqrt{-15}$$。
同時，他也指出：我們若「能放下心中的折磨」，直接計算兩數的乘積，便能得到 $$25-(-15)=40$$，符合原來題設。他無法說出這件事的意義何在，只好利用「算術就是這麼精巧又不中用。」的說法來交待。因此，卡丹諾對於出現 $$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}$$ 的現象，也是採取迴避的策略吧。
虛數$$\sqrt{-1}$$的誕生-上（The Origin of Imaginary Number$$\sqrt{-1}$$)
新北市中正國中數學科陳鳳珠老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
一般人都知道虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是方程式 $$x^2+1=0$$ 的根，在合理的推論之下，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 應該是誕生在二次方程的解法之中才是。如果你也這樣以為，那麼，數學史家的研究結果，絕對出乎你的意料之外！
在數學發展過程中，早期數學家面對方程式 $$x^2+1=0$$ 時，和我們現在的國中數學課本處理方式一樣，他們認為這樣的方程式是無解，當然，也就無須發明一個數，來表示方程式 $$x^2+1=0$$ 的根。不過，當我們回顧虛數 $$\sqrt{-1}$$ 誕生的故事時，便會認同數學史家的觀點，也就是說：虛數 $$\sqrt{-1}$$ 並非誕生在二次方程式的解法之中，而是在解三次方程時現身。
位值計數系統（Positional numeration system）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
本文介紹位值記數系統的意義。
所謂的位值計數系統，必需滿足下列的條件：