霍爾效應

霍爾效應 (Hall effect)
臺中縣縣立中港高級中學物理科王尊信老師/國立彰化師範大學物理系洪連輝教授責任編輯

霍爾效應(Hall effect) 在 1879 年由 Edwin Hall 發現，其是指將一固體導體（假設固體為一長方體，長邊沿著 \(x\) 軸方向、寬沿著 \(z\) 軸方向且寬度為 \(w\)、高沿 \(y\) 軸方向且寬度為 \(d\)，較好分析）通電流，並放置於磁場中，而在導體表面產生電位差的情形，原因很簡單，若導體之電流方向為 \(x\)，外加磁場方向為 \(z\)，則不論導體中的非束縛電荷帶正電或負電，根據勞倫茲力 \(F=q(E+v\times B)\)，都會往 \(-y\) 的方向漂移而產生電位差，此電位差稱為霍爾電壓(Hall voltage)，而霍爾電壓，可根據勞倫茲力，計算其電、磁力平衡得到，其推導如下：

已知導體內部只有一種可移動的非束縛電荷且密度為 \(n\)，而每個粒子之帶電量為 \(Q\) 且運動速度為 \(v\)，而導體帶電流 \(I\)，霍爾電壓為 \(V_H\)，霍爾電場 \(E\)，外部磁場為 \(B\)，體電流密度為 \(J\)，則根據靜力平衡有（方向都在 \(y\) 軸故不特別討論）：

\(QE=QvB\rightarrow\displaystyle\frac{V_H}{d}=\frac{J}{nQ}B\) （明顯有：\(J=nQv \therefore v=\displaystyle\frac{J}{nQ}\)）

\(\displaystyle\therefore J=\frac{I}{wd}\rightarrow\frac{V_H}{d}=\frac{1}{nQ}\frac{I}{wd}B\)

\(\displaystyle\therefore V_H=\frac{I}{nQw}B\)

根據以上推導，可知霍爾電壓可測量非束縛電荷的密度（因為上式中僅有 \(n\) 未知，其餘的數值都可經過實驗量測得到）與運動速度（或稱飄移速度），另外，根據測 得霍爾電壓的正負，也可輕易了解其導體內部之非束縛電荷為電子（帶負電）或電洞（帶正電），因為若用三用電表將導體上部(指的是(\(x\)、\(d\)、\(z\))之平面)接正極，下部((\(x\)、\(0\)、\(z\))之平面)接負極測量霍爾電壓，若電壓值為正，則代表負電荷累積於導體之下部，故此時導體內部之非束縛電荷種類為電子，反之，若 測得的霍爾電壓為負值，則載子為電洞。另一項在霍爾效應中非常著名的結果是霍爾係數，從以上推導中，可知：

\(\displaystyle\frac{1}{nQ}=\frac{1}{JB}\frac{V_H}{d}=\frac{E}{JB}\)

其中 \((nQ)^{-1}\) 就是霍爾係數，只和導體的性質有關，和其他實驗變因無關，順帶一提，因為霍爾係數和 \(n\) 成反比，而我們知道金屬中的自由電子(非束縛電荷)非常多，因此金屬的霍爾係數往往非常小，相較之下，半導體的霍爾係數則較大。

霍爾效應在半導體中的應用非常常見，因為其結果簡單的表示了半導體中性質一些性質(例如鑑定此半導體為p型或n型)，另外還有霍爾探針(Hall probe) ，其可測量外部磁場之大小，原理很簡單，若已知導體之非束縛電荷密度和其帶電量，則可以另用這項性質反推外部磁場。

近來有發展出所謂的量子霍爾效應，又分為整數量子霍爾效應、分數量子霍爾效應，因為會測量到與材料等皆無關的常數，故分別在 1985 年與 1998 年獲得諾貝爾獎。

參考資料:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hall_effect