電磁波反射及折射的強度和入射角的函數關係

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電磁波反射及折射的強度和入射角的函數關係
(Intensity of Reflected and Refracted EM Waves as a Function of Incidence Angle)
加州大學柏克萊分校物理系 2012 盧奕銓

I. 定義及基本概念

電磁波從一個介質傳遞到另一個介質時，只有一部分的電磁波會進入新的介質，而剩下的會被介面所反射。進入新介質的電磁波稱為折射波，而被反射的稱為反射波。在理想情況之下，入射的強度會等於反射和折射強度的總和，但反射和折射強度的相對大小，則和入射角有關。在討論強度和入射角的關係之前，必須先定義幾個名詞和物理量。

(a)入射平面：入射波和法線所在的平面稱為入射平面。入射波打在介面上後，折射波和反射波也會在入射平面上。

(b)極化方向：電磁波是由交替震盪的電場和磁場所組成，而電場震盪的方向，稱為該電磁波的極化方向。

(c)折射率：電磁波在介質中傳遞速度為 $$v=c/n$$，其中 $$n=\sqrt{\epsilon\mu/\epsilon_0\mu_0}$$ 為該介質的折射率。$$\epsilon$$ 是介質的電容率，$$\mu$$ 是介質的磁導率，而 $$\epsilon_0$$及 $$\mu_0$$ 則為真空中的電容率及磁導率。

(d)假設電磁波從介質1入射到介質2，入射角為 $$\theta_1$$，折射角為 $$\theta_2$$，我們定義一個物理量 $$\alpha$$：

$$\displaystyle\alpha=\frac{\cos\theta_2}{\cos{\theta_1}}$$

由司乃耳定律知，入射角及折射角的關係為 $$n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2$$，

$$n_1$$ 和 $$n_2$$ 分別是介質1和介質2的折射率。所以 $$\alpha$$ 又可以表示成

$$\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{1-[(n_1/n_2)\sin\theta_1]^2}}{\cos\theta_1}$$

(e)定義另一個物理量 $$\beta$$：

$$\beta=\displaystyle\frac{\mu_1n_2}{\mu_2n_1}$$

定義 $$\alpha$$ 及 $$\beta$$ 這兩個物理量的好處是可以簡化反射和折射的強度公式。

II. 反射及折射強度公式

反射和折射強度的函數形式，和電磁波的極化方向有關，以下分兩類討論：

(a) 極化方向與入射平面平行

所謂極化方向平行入射平面，指的就是電場「躺」在入射平面上。
假射入射波的強度為 $$I_I$$，那麼反射波的強度 $$I_R$$ 則是

$$I_R=\left|\displaystyle\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}\right|^2I_I$$

而折射波的強度 $$I_T$$ 為

$$I_T=\alpha\beta\left|\displaystyle\frac{2}{\alpha+\beta}\right|^2I_I$$

如果 $$n_1=1$$，$$n_2=1.5$$，$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$，那麼，將 $$I_R/I_I$$(反射強度與入射強度比值) 及 $$I_T/I_I$$ (折射強度與入射強度比值) 對入射角 $$\theta_1$$ 作圖可得圖一(a)。

圖一(a)

圖中可以看出，從入射角 $$\theta_1=0$$ 開始，折射波的強度緩慢遞增，而反射波強度則緩慢遞減，到某一特定角度時，反射波的強度會遞減到零，這個角度稱為布魯斯特角，它出現在 $$I_R=0$$ 的瞬間。簡單計算後可知，布魯斯特角 $$\theta_B$$ 滿足

$$\sin^2\theta_B=\displaystyle\frac{1-\beta^2}{(n_1/n_2)^2-\beta^2}$$

值得注意的是，布魯斯特角不一定存在。如果上式等號右邊的數值不是介於 $$0$$ 與 $$1$$ 之間，那麼就代表 $$\theta_B$$ 沒有解，反射強度永遠不會是 $$0$$。然而，對於常見的物質而言，磁導率 $$\mu$$ 的數值大約和真空磁導率 $$\mu_0$$ 相同，在這樣的近似下，$$\theta_B$$ 永遠有解：

$$\displaystyle\theta_B\approx \tan^{-1}\frac{n_2}{n_1}$$

利用司乃耳定律可以得知，此時折射線和 (消失的）反射線間的夾角剛好是 $$90$$ 度。至於折射線和反射線間夾角成 $$90$$ 度時，反射波為何會消失，可以由電偶極的輻射理論來解釋，在此不深入討論。

由圖中我們可以看到，過了布魯斯特角之後，折射波強度就一路遞減到零，代表入射波如果水平地入射到介面上，幾乎所有能量都會被介面所反射，造成眩光。

圖一(b)

如果 $$n_1=1.5$$，$$n_2=1$$，$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$，代表入射光從密介質傳遞到疏介質，在這情況下，如圖一(b) 所示，入射角經過布魯斯特角之後，尚未到達 $$90$$ 度之前，$$I_R/I_I$$ 就遞增到最大值 $$1$$，代表所有能量都被介面所反射，這個現象稱為全反射，而此時的入射角稱為臨界角。此時折射波會剛好沿著介面行進，而不會傳遞能量到介質2。超過臨界角之後，$$I_R/I_I$$ 數值仍然維持在 $$1$$ 不變，然而介質2中其實並非完全沒有電磁波：介質2中的電磁波一樣仍然沿著介面行進，但是深入介質2的厚度開始變淺，這種波稱之為衰減波（evanescent wave）。如果繼續增加入射角，那麼衰減波在介質2中的厚度就會越來越薄，幾乎可以忽略。這些現象沒辦法從折射強度公式看出來，必須藉由解馬克士威方程式才能看出詳細的物理現象，所以在此不深入討論。

(b)極化方向與入射平面垂直

由於極化方向的不同，反射強度和折射強度的公式也不同：

$$I_R=\left|\displaystyle\frac{1-\alpha\beta}{1+\alpha\beta}^2I_I\right|$$

$$I_T=\alpha\beta\left|\displaystyle\frac{2}{1+\alpha\beta}^2I_I\right|$$

圖二(a)

在這個情況之下，如果一樣假設 $$n_1=1$$，$$n_2=1.5$$，$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$，則 $$I_R$$ 及 $$I_T$$ 對入射角 $$\theta_1$$ 作圖可得圖二(a)。從圖中可以看到，反射強度一路遞增，而折射強度一路遞減，中間並沒有布魯斯特角。但嚴格來說布魯斯特角還是有可能存在：假設 $$I_R=0$$，可知布魯斯特角必須滿足

$$\cos^2\theta_B=\displaystyle\frac{1-(n_2/n_1)^2}{1-(\mu_2/\mu_1)^2}$$

對於常見的物質而言，$$\mu_1$$ 和 $$\mu_2$$ 數值幾乎相同，所以上式等號右邊幾乎是無窮大，所以 $$\theta_B$$ 通常沒有解。從圖中也可以看出，當入射角接近九十度時，折射強度趨近於 $$0$$，所以仍然有眩光產生。

圖二(b)

如果 $$n_1=1.5$$，$$n_2=1$$，$$\mu_1=\mu_2=\mu_0$$，代表入射光從密介質傳遞到疏介質，在這情況下，如圖二(b) 所示，在入射角尚未到達 $$90$$ 度時，就會先達到臨界角，而發生全反射。發生全反射時，反射強度等於入射強度，而介面2內的折射波開始變成衰減波，其現象跟上一分類所描述的狀況相同。

參考文獻