電容率

電容率 (Permittivity)
臺中縣立中港高級中學物理科王尊信老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

在庫侖定律中，我們所熟知的公式：\(F=\frac{kQq}{r^2}\)，\(k\) 叫做電常數(electric constant)或庫侖常數(Coulomb’s constant)，在高中物理，它的大小等於 \(9\times 10^9~Nm^2/C^2\)，但是到了大學普通物理我們卻喜歡把它換成真空電容率 \(\varepsilon_0\)，它們之間的關係是：\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\)，

詳細關係為：

\[ k_e=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=\frac{\mu_0c_0^2}{4\pi}=\frac{c^2_0}{10^7}=8.9875517873681764\times 10^9~N\cdot m^2\cdot C^{-2} \]

另外，我們還可以把它當成 \(1\)，但此時電量的單位必須由庫侖換成靜庫(electro static unit，esu 或 static Coulomb，statC)。

靜庫和庫侖之間的關係為: \(1~C\approx 2.99792\times 10^9~statC\)，\(1~statC\approx 3.33564\times 10^{-10}~C\)。

\(\varepsilon_0\) 代表真空的電容能力，大小為 \(\varepsilon_0=1/(\mu_0c^2_0)\approx 8.854187817\times 10^{-12}~F\cdot m^{-1}\)

由Maxwell 方程式可以推得真空電容率與真空磁導率兩個常數的乘積剛好會等於光速平方的倒數 \(\varepsilon_0\mu_0=1/c^2\)，這也說明了電磁波就是廣義的光。

正因為這個原因，所以在大學普物裡，我們常常喜歡會用來 \(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) 取代 \(k\)。

\(\varepsilon_0\) 的單位也可以用SI單位來表示：\(A^2s^4kg^{-1}m^{-3}\)。在介質中，電容率 \(\varepsilon\) 代表電位移場 \(D\) (electric displacement field)與電場 \(E\) (electric field) 的比值：\(D=\varepsilon E\)。

當 \(D\) 與 \(E\) 成正比時，我們稱這個介質是均勻的 (isotropic)。如果介質不是均勻的，電容率會是一個隨位置改變的二維張量，因為比較複雜，所以我們在一般情況下，只討論均勻介質，或把介質理想化為均勻的。

介質電容率 \(\varepsilon\) 與真空電容率 \(\varepsilon_0\) 的比值稱為相對電容率(relative permittivity)\(\varepsilon_r\)，\(\varepsilon_r=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\)，有時也叫做介電常數(dielectric constant)。所以可以得到介質電容率 ，其中 \(\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0=(1+\chi_e)\varepsilon_0\) 叫做介質磁化率 (electric susceptibility )。

因此上式可以變成：\(D=\varepsilon E=\varepsilon_0 E+P=\varepsilon_0 E+\varepsilon_0 \chi E=\varepsilon_0 E(1+\chi)\)，其中 \(P\) 表示極化(polarization)。

這些基本關係在大學電磁學會學到，對於理科與工科都極重要，是光電、材料、電波等熱門議題的重要基礎，不管是雷射、發光二極體(LED)、手機無線通訊、無線上網WiFi、WiMAX都是以上述理論為基礎，因此在高中時期，應該學好電力、電場、電位能與電位的定義與延伸公式，以便將來的進階應用。眾所皆知的庫侖定律，裡面小小的常數，看起來不起眼，但竟蘊涵深遠的應用，可見高中時期的底子要紮穩，未來才不會吃虧。

參考資料 

http://en.wikipedia.org/wiki/Permittivity