穀倉-竿弔詭

穀倉-竿弔詭 (Barn-pole paradox)
國立臺灣大學物理系100級 潘孝儒

穀倉-竿弔詭是狹義相對論中著名的弔詭之一，問題的敘述是這樣子的，有位農夫擁有一座穀倉和一根竿子，但是竿子太長以至於無法放進穀倉中，於是聰明的農夫突然想到，在狹義相對論中，高速移動的物體長度會縮短，所以只要將竿子加速到夠快的速度便可以讓竿子完整放入穀倉中一段時間(因為竿子在運動，所以只能期望它會在穀倉中待一小段時間)。這看似很合理，不過從竿子的慣性座標系來看，穀倉以高速向自己移動，所以穀倉將會比原本的長度更小，所以竿子根本不可能放入穀倉中！所以問題到底出在哪裡呢？究竟哪個觀察者的結論才是正確的？

事實上，兩個觀察者的結論都是正確的！你可能會問，這樣沒有矛盾嗎？怎麼可能竿子同時在裡面又在外面？問題的癥結點在於，對於兩個不同慣性座標系的觀察者而言，這些事並不是同時發生的。

假設對於穀倉的觀察者來說竿子的長度恰好收縮至穀倉的寬度，且竿子剛好完全落於穀倉內，則位於穀倉的觀察者會見到竿子的前端碰觸到穀倉的尾端時，竿子的尾端恰好進入到穀倉中，也就是說，竿子「同時」進入到穀倉中(注意到此處的「同時」是對穀倉的觀察者來說的)。但是對於位在竿子的慣性座標系的觀察者來說，他會見到竿子的前端先碰觸到穀倉的尾端（其實這必須做些計算，不過在這裡我們先假設這是正確的），然後在過了一段時間後竿子尾端才跟著進入到穀倉中。就結果來說，竿子的前端確實有碰觸到穀倉的尾端，而竿子的尾端也確實有進入到穀倉內(只是這件事發生的比較晚)，頭尾最終都有進入到穀倉中，所以並沒有矛盾。

細心的讀者或許會注意到這裡有個小問題，對於位在竿子的慣性座標系的觀察者來說，若竿子的前端先碰觸到穀倉的尾端的話，竿子應該會被停下來才對，那竿子的尾端又要如何進入到穀倉中呢？實際上是這樣的，在狹義相對論的假設中，訊息傳播的速度不可以超過光速，在這個例子中，由於竿子並不是理想剛體（力可以無限快的速度傳播），所以當竿子的前端碰觸到穀倉的尾端時會朝竿子的尾端壓縮，並傳送出一個關於力的訊息，但是竿子的尾端並不知道這件事，所以竿子的尾端會繼續以原本的速度前進，甚至當竿子的尾端剛剛進入穀倉時，竿子前端的訊息還來不及傳遞到竿子的尾端。所以位在竿子的慣性座標系觀察者得到的結果是：竿子首尾都確實進入了穀倉，但先後不同，且竿子為此付出了代價：它從前端依序被壓縮到尾端了！(圖1)

圖1 (陳義裕繪)

此最後結果對於穀倉的觀察者來說也是成立的：當竿子完全進入穀倉後，高速運動中竿子的前端接下來就頂到了穀倉，所以它就開始被壓縮，此壓縮的力道又一路向後傳遞，直至整根竿子都壓縮了為止。所以完全沒有矛盾。(圖2)

圖2 (陳義裕繪)