由機率統計談工程之風險與不確定性

由機率統計談工程之風險與不確定性 The discussion of engineer risk and uncertainty by probability and statistic
國立臺灣大學土木工程系水利工程組研究助理 王元亨

不論於求學哪個階段，統計與機率都是理工相關科系的一個重要課題，其主要用來探討我們所面臨的風險跟不確定性。在數學上，所謂「隨機變數」是指變數的值無法預先確定，僅以一定的可能性（機率）取值的量。

由於隨機而獲得的非確定值，是機率中的一個基本概念，於樣本空間中的每一個基本事件數值化，而各種不同事件出現的頻率不同，導致各個數值出現的頻率不同，而「機率」就是反映其出現的相對的頻率。「隨機變數」出現的各個可能數值與其對應的「機率」 就稱為「隨機變數」的「機率分布」(probability distribution)。

對應於工程中之風險之不確定性，最早定義何謂風險與不確定性者為美國著名經濟學家 Frank Knight，其將決策者所面臨之事件與情況分為完全確定 (Complete Certainty)、風險 (Risk)、以及不確定性 (Uncertainty) 三大類，通常以機率概估與分析之事件少屬完全確定。

而風險被其定義為，決策者於某情況下了解所有可行之選擇，然各選擇卻有一定數量之可能結果，導致決策者無法了解各選項之結果，於此情況下機率將被指派至各個結果。不確定性被定義為無法指派機率至可能結果。決策者對於某情況下之所有可行選擇有所了解，卻無法指派機率至所有或部分之可行選項。於極端之情形下，決策者對於所有之可行選擇甚至將一無所知。

圖一 風險不確定性與主客觀風險概念圖（圖來源：自行繪製）

定義一如往常般地繞口，然圖一卻充分反映出於實際情況下工程師所面臨之問題。以年最大洪水量來設計堤防高程不溢堤為例，設計堤防高程時工程師可憑藉自身過往之經驗與對課題之了解，客觀地對於目標參數即年最大洪水量造成之高程做出先驗上之假設。

先驗有一種無須訴諸過往經驗就能確認事實之存在概念；然多數之情況工程師於客觀之推估乃採後驗。所謂後驗假設即憑藉歷史年最大洪水量，尋找最適當描述過往資料之統計分布（常態分布、對數常態分布、皮爾森第三型分布…），當分布確立即可了解不同年最大洪水量設計之堤防高程，於不同區間值之可能性，如圖二所示，紅線代表不同之門檻值，其紅線右方即代表於此對應之門檻值下可能遭受到之風險。

圖二 機率分布於不同區間值之可能性示意圖（圖來源：自行繪製）

而當工程師無法由後驗判斷資料之最適機率分布時，工程師僅可根據其對於情況所具備之理解做出主觀推估假設，此時以人為本的主觀性就進場取代客觀之機率推估。

再將主客觀機率之概念用直白一點的方式論述。主觀機率的概念是一個事件發生的機率是由人類的經驗或心理的感覺所決定的，只能根據人們對發生此事件的信心來作決定，是一種主觀判斷的結果，視機率為一事件之相信程度。而客觀機率的概念乃藉由重複多次試驗、觀測，事件出現機率為是該事件出現次數與試驗的總次數之比，其與主觀風險機率之差異在於，其可更精確地被觀察進而量測。簡言之、客觀風險為已經經歷之預期經驗中，事實結果之可能變化。

圖三 傳統單一條件與風險條件工程分析概念之差異（圖來源：自行繪製）

然現實工程師於近來遭遇氣候變遷等不確定性影響，於工程設計上仰賴主觀判斷之情況越來越多，有時於統計甚至將面臨無從判斷之情況，即縱使利用經驗判斷做出假設，仍離事實有一段差距。從圖三可看出，傳統單一值之分析概念為採用單一條件因此僅會得到一個結果，然於風險考量下分析之條件應具備一範圍或其自身呈現一分布，使得推估出來的結果同樣為一範圍或分布。

故當遭遇高不確定性無從分析之狀態下，以往單一值之工程分析概念必須做出改變，在不確定性的世界中，單一值應以假設之分布值群作為替代，由於結果為不確定的，故需避免具備不確定性之知識被涵蓋確定性之單一值所混淆。工程師在盡自身職責之同時，同樣得面臨大自然所開出來之挑戰做出想法上之調適，或許傳統統計理論的想法於現今充滿諸多不確定性因素之工程條件下已顯得捉襟見肘。

參考文獻

1. US Army Crops Engineers（1992）”Guidelines for Risk and Uncertainty Analysis in Water Resources Planning Volume I“, P7~P13.
2. Daniel P. Loucks, Eelco van Bee (2005) “Water Resources Systems Planning and Management“, P256.