玻色-愛因斯坦分布
玻色-愛因斯坦分布 (Bose-Einstein Distribution)
國立臺灣大學物理所碩士班二年級 張翔恩
在量子統計的世界裡，物理學家們對於一群不會交互作用 (non-interacting)、不可區分(indistinguishable)的粒子，如何在不連續的能階(discrete energy states)上分布，有著濃厚的興趣。到目前為止，他們共發現了兩種可能的分布，其中一種是費米-狄拉克分布(Fermi-Dirac distribution)、另外一種就是這邊要探討的玻色-愛因斯坦分布 (Bose-Einstein istribution)，至於也相當著名的馬克士威-波茲曼分布(Maxwell-Boltzmann distribution)，則可視為這兩種分布在古典物理中的近似描述。
圖一$$~~~$$右邊為費米-狄拉克分布(Fermi-Dirac Distribution)、左邊為玻色-愛因斯坦分布 (Bose-Einstein Distribution)。右邊的分布因為受限於包立不相容原理(Psuli Exclusion Principle)，每個能階最多只能容納兩顆自旋(Spin)方向相反的粒子。左邊的分布就沒有此項限制，因此允許多個粒子放置在相同的能階上。請注意，該圖粒子的顏色，只是代表著不同的自旋方向，不是可區分(Distinguishable)的粒子，有關可區分粒子的馬克士威-波茲曼分布，請參考其他的資料。
玻色-愛因斯坦分布，允許所有非交互作用、不可區分的粒子可以處在相同的能階上[圖一]，也就是沒有包立不相容原理(Pauli exclusion principle)的限制。這種按照玻色-愛因斯坦分布的粒子，我們稱作玻色子(Boson)，最早是由一位印度物理學家，玻色(Satyendra Nath Bose)於1925年所發現的，後來被愛因斯坦(Albert Einstein)認同，兩人也一同合作，將此概念做了延伸。
圖二$$~~~$$玻色-愛因斯坦的機率分布形式
玻色-愛因斯坦的分布公式，可以簡單的從大正則系綜（grand canonical ensemble）來推導，大正則系綜內的系統(system)不僅可以和外部環境(reservoir)交換能量，還可以交換粒子，但系綜內所有系統的能量總和以及粒子數總和都是固定的，而且系綜內的系統總數也是固定不變的。最後的推導結果以及各項的物理意義如[圖二]。該公式也可以用正則系綜(Canonical Ensemble)來推導，但過程有著些許的複雜，如有興趣請參考[文獻一]。
因為氦-4 原子是波色子，且在極低溫時容易展現出量子特性，所以玻色-愛因斯坦分布可以用來當作是描述低溫氦-4 種種奇妙特性(如超流體特性)的最粗略近似。此外，光子也滿足玻色-愛因斯坦分布。
玻色-愛因斯坦分布不僅僅是一種機率分布，同時也可以應用在其他領域上，像是資訊檢索(Information Retrieval)。你可能不相信，不過在格拉斯哥大學(University of Glasgow)的Terrier Project[文獻二]裏頭，他們發現關鍵字和特定文章間有著重要的關係，不只是隨機的連結，而該指標就是玻色-愛因斯坦統計。
許多的科學研究，往往能夠在其他的領域中，扮演著意想不到的腳色，近期也越來越流行跨領域的學術研究，這正是所謂的科學無分界！
參考文獻
[文獻一] The B-E Distributionhttp://hep.ph.liv.ac.uk/~hock/Teaching/StatisticalPhysics-Part5-Handout.pdf [文獻二] Terrier Project
http://terrier.org/docs/v2.2.1/dfr_description.html [文獻三] Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
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