氣體動力論與方均根速率

氣體動力論與方均根速率
國立新港藝術高級中學物理科羅伊君老師/國立彰化師範大學吳仲卿教授責任編輯

我們由微觀的粒子行為觀察理想氣體的性質，

設在正立方體容器中裝有 $$n$$ 莫耳理想氣體，容器的邊長 $$L$$，內含 $$N$$ 個質量為 $$m$$ 的相同分子，

則第 $$i$$ 個分子撞擊器壁的動量變化量 $$\Delta \vec{P_i}=-2mv_{ix}\vec{i}$$，來回一次花 $$\Delta t_i=\frac{2L}{v_{ix}}$$，

因此第 $$i$$ 個分子撞其中一面($$A_x$$ 面)之平均力 $$\vec{F_i}=\displaystyle\frac{\Delta\vec{P_i}}{\Delta t_i}=\frac{mv^2_{ix}}{L}\vec{i}$$，

因此全部氣體撞 $$A_x$$ 面總力 $$\displaystyle \vec{F_x}=\sum\vec{F_i}=\frac{m\sum v^2_{ix}}{L}\vec{i}$$

又假設分子撞擊每面的機率相等，因此

$$\displaystyle \sum v^2_{ix}=\sum v^2_{iy}=\sum v^2_{iz}=\frac{\sum v^2_i}{3}$$

$$\displaystyle \vec{F_x}=\frac{m\sum v^2_{ix}}{L}\vec{i}=\frac{M\sum v^2_i}{3L}\vec{i}$$

則 $$A_x$$ 面所受之壓力 $$P:P=\displaystyle\frac{F_x}{L^2}=\frac{m\sum v^2_{ix}}{3L^3}=\frac{mN\overline{v}^2}{3V}$$

$$\displaystyle PV=\frac{1}{3}mN\overline{v}^2=\frac{1}{3}Nmv^2_{rms}=\frac{1}{3}nMv^2_{rms}$$，其中 $$v_{rms}$$ 稱為方均根速率，$$M$$ 為氣體之分子量。

這告訴我們巨觀的物理量（壓力）與微觀物理量（分子速率）間的關係，由此可知，氣體壓力來源是氣體分子碰撞產生。合併理想氣體方程式，可得分子之方均根速率 $$v_{rms}=\sqrt{\overline{v}^2}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$。在室溫 $$(300K)$$ 下，氫氣的方均根速率約為 $$1920~m/s$$，而此值並非每個氣體分子的速率，事實上有些分子速率大於或是小於此值，而且分子在運動的同時，也與其他分子不停的碰撞，因此實際上的速率並非如理論值這麼快。

參考資料
1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, 普通物理，第八版，2009年2月