斯特凡-波茲曼定律

Posted on 2015/01/29 in 熱, 物理, 統計熱物理學 Statistical Thermodynamics with 尚無留言 21,419 views

斯特凡-波茲曼定律 (Stefan-Boltzmann Law)
國立臺灣大學物理學系101級林琪蓁

․簡介

斯特凡-波茲曼定律(Stefan-Boltzmann Law)，又稱為斯特凡定律(Stefan’s Law)是熱力學的一個重要定律，描述一個理想黑體單位面積在單位時間內輻射出的總能量，和黑體的絕對溫度的四次方成正比。

公式為：

$$j^*=e\sigma T^4$$

$$j^*$$：單位面積輻射功率$$(J/s\cdot m^2=W/m^2)$$
$$e$$：黑體的發射率，理想黑體為 $$1$$
$$\sigma$$：斯特凡─波茲曼常數 (Stefan-Boltzmann constant)
$$T$$：絕對溫度$$(K)$$

理想的黑體不會有任何的反射或透射，黑體的發射率等於吸收率，所以一個好的輻射發射源，也能良好的吸收輻射。不理想的黑體稱為灰體(grey body)，發射率介於 $$0\sim 1$$ 之間，更普遍的狀況發射率還是波長(頻率)的函數。

總輻射功率為 $$j^*$$ 乘以輻射的總面積。而這個定律只適用於黑體，現在發展的人造材料，超材料 (metamaterials)就不一定符合斯特凡-波茲曼定律。

․歷史

斯特凡-波茲曼定律在1879年由斯洛維尼亞物理學家斯特凡(Jožef Stefan, 1835~1893)推導出來，在1884年，奧地利物理學家波茲曼(Ludwig Boltzmann, 1844~1906)也推導出相同的定律。斯特凡使用廷得耳(Johm Tyndall)的實驗數據，歸納而得到，波茲曼則是由熱力學定律推導，假設光(電磁波輻射)代替氣體當成熱機裡面的工作介質，推導出與斯特凡相同的結果。這個定律對黑體有用，不過對非理想黑體─灰體，也能算是不錯的近似。

這個定律由斯特凡發表，在1897年3月20日以 Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (論熱輻射與溫度的關係)為論文題目發表在維也納科學院的大會報告上，成為目前唯一一個以斯洛維尼亞人命名的物理定律。

斯特凡-波茲曼定律不但可由熱力學的定律推導出來，也可以由普朗克定律直接推導，而這可視為普朗克量子理論的一項成就，因為他可以將以其他更基本的物理常數表示。

․應用例子

＊日面溫度的估算

利用這個定律，斯特凡估計了太陽表面的溫度，其想法為：當時的實驗數據顯示太陽的輻射為一加熱金屬板輻射強度的29倍，而因為測得金屬板的溫度約為1900℃~2000℃，若我們假設太陽到地面的輻射有1/3會被大氣層吸收，運用這些數字，斯特凡得到太陽表面的溫度約為2200 K。當時對日面溫度的說法，從1800℃~23,000,000℃眾說紛紜，所以斯特凡算是給出了一個較精確的結果。

＊恆星溫度的估算

恆星的亮度(絕對亮度)可表示為：

$$L=4\pi R^2\sigma T_e^4$$

所以亮度和有效溫度(effective temperature，因為不知道恆星的發射率，所以有效溫度是把它當成理想黑體時的溫度)的四次方和半徑的二次方成正比。

＊地球溫度的估算

由太陽發射到地球的輻射量，跟地球本身發出的輻射量，約略達到平衡，由此可以粗略估計出地球的表面溫度。

․與黑體相關的其他定律尚包括：

＊普朗克黑體輻射定律(Planck’s law)

普朗克黑體輻射定律描述在任意溫度下，從一個黑體發射出的電磁輻射功率與輻射頻率的關係，此可由電磁波能量量子化的觀念推導而得。

$$I(v,T)=\displaystyle\frac{2hv^3}{c^2}\displaystyle\frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}-1}$$(單位頻率的輻射率)

參考文獻