廣義相對論

廣義相對論 (General Relativity)
國立臺灣大學物理所博士生王建勛

愛因斯坦在提出狹義相對論之後，希望將他的相對論推廣到非慣性座標的情形，即加速度運動和重力。他觀察到，在重力場中自由落體的人，在落下時察覺不到其周遭有重力，而另一方面，想像有一個人在太空船內，無法觀看到外部的環境，此時若太空船有等加速度，那麼他將無法分辨是太空船有等加速度，或者他是處在重力場中靜止的太空船內。因此重力場和加速度系統是等價的。

伽利略已觀察到不同質量的物體，落下時的重力加速度是相同的。牛頓的公式中，物體受地球的吸引力是正比於物體的質量，重力質量與慣性質量相同，因此重力加速度與物體的質量無關。而這也是上述太空船假想實驗的基礎。愛因斯坦將其推廣，提出了等效原理：在足夠小的時空區域中，物理定律將化約到狹義相對論的情形，我們無法透過任何局部區域中的實驗，去探測重力場的存在。

在狹義相對論中，我們知道，觀察者在不同速度的慣性座標系中，會觀察到時間膨脹和長度收縮。在加速座標系中，由於速度是不均勻的，物體在不同時空點的長度收縮會不同，所以觀察者將發現他周遭的空間是彎曲的，歐幾里得的幾何不再適用。愛因斯坦將之更加推廣，認為重力現象其實是因為時空（不只是空間）是彎曲所造成，但物理定律則不變。

根據等效原理，可得出加速坐標系或重力場等同於時空彎曲所產生的現象。廣義相對論另一個假設，物體在彎曲時空移動的軌跡是測地線 (geodesic)，兩點中最短的曲線，這個原理也可從力學的最小作用原理得出。

要描述彎曲時空要引進長度、角度的概念（數學上則是以「度規」這個專有名詞來代之）。在歐氏空間，兩點的距離可由畢氏公式算出，$$s^2=x^2+y^2+z^2$$。在狹義相對論中，時空中兩個事件的距離為 $$s^2=-c^2t^2+x^2+y^2+z^2$$，其中 $$t$$ 為時間、$$c$$ 為真空中的光速。在一個時空點附近的無窮小距離，可寫成微分形式 $$ds^2=-c^2\mathrm{d}t^2+\mathrm{d}x^2+\mathrm{d}y^2+\mathrm{d}z^2$$ 或寫成 $$\mathrm{d}s^2=\sum_{i,j=0}^{3}\eta_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j$$，其中 $$x^0=t,x^1=x,x^2=y,x^3=z$$ 而 $$\eta_{ij}$$ 為一個四乘四、對角線元素為 $$\{-1,1,1,1\}$$、其他元素為零的矩陣。我們稱這矩陣為平坦時空的度規。在彎曲時空，度規裡的矩陣元素會是時間與空間的函數。

從十九世紀到二十世紀初，數學家發展了微分幾何，這個理論可用來描述彎曲空間，並且定義了黎曼張量(Riemann Tensor)來描述和計算空間的彎曲程度，這個數學量是度規和度規微分的函數，當黎曼張量為零時，空間就是平坦的，反之亦然。愛因斯坦運用微分幾何到四維時空的情形，提出了相對論的重力場方程式。

在牛頓力學中，重力場方程為 $$\triangledown^2\Phi=-4\pi G\rho$$，其中 $$\Phi$$ 是重力位能 (gravitational potential)，$$G$$ 為牛頓重力常數，$$\rho$$ 是質量密度。左手邊是重力場的資訊，在相對論中則應該更改為一個和時空的彎曲曲率有關的量，而右手邊是物質（也等價於能量）分布的資訊，在相對論中則需要擴充包含物質能量與動量的流動，物理學家將此推廣之概念稱為能量動量張量 (energy-momentum tensor)。

愛因斯坦經過幾番嘗試，提出了廣義相對論的重力場方程式 $$R_{ab}-\frac{1}{2}Rg_{ab}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{ab}$$，其中 $$R_{ab}-\frac{1}{2}Rg_{ab}$$ 合稱為愛因斯坦張量，而 $$R_{ab}$$ 與 $$R$$ 則是將前述的黎曼張量做簡單的代數運算後便可求出的數學量，$$T_{ab}$$ 則是能量動量張量。總結愛因斯坦方程式的意義，時空的彎曲曲率，正比於物質與能量的分布。在電磁學中，帶電物體會產生電場與磁場，其強度與方向由馬克士威方程式決定，電磁場進而再影響其他帶電物體的運動。在廣義相對論中，所有物質與能量都會使時空彎曲，愛因斯坦方程式則決定時空彎曲的幾何，即時空的度規。其他的物質與能量則沿著這個時空幾何的測地線來進行運動。

水星近日點的進動，過去用牛頓力學計算與天文觀測有些許的誤差。愛因斯坦應用他的重力場方程式，計算水星繞行太陽的軌道的有效位能，發現除了牛頓力學原本有的離心力的位能，和與距離成反比的重力位能，廣義相對論還會多出一項與距離三次方成反比的微小修正。其他行星與太陽的距離比較遠，這一項的貢獻很小，可忽略不計，但是水星與太陽的距離很近，這一項的貢獻就變得相對重要。廣義相對論對近日點進動的計算結果與觀測相符，成為第一個實驗驗證。之後，物理學家發現其他廣義相對論所預言的現象，如重力紅移，重力透鏡效應等等也通過實驗驗證。

參考文獻

1. Carroll, S. M. (2004). Spacetime and geometry. An introduction to general relativity. Addison-Wesley.
2. 2. Roger Penrose, General Relativity: Overview.