又一世紀數學難題得解？

又一世紀數學難題得解？
知識通訊評論第46期

有數學家宣稱，已使用新奇的技法，破解了懸賞百萬美元的數學難題，但是結果還有待查證。

最難解的數學問題之一已經獲解的傳聞甚囂塵上。

最近部落格跟線上討論群組，都在散播關於一篇在九月二十六日，張貼於線上預印本伺服器論文的相關新聞。這篇由美國賓州伯利恆市理海大學的史密斯 (Penny Smith) 所寫的論文，聲稱包含「三度空間納維爾–史托克斯 (Navier-Stokes) 系統的永恆順解」。

倘若這篇論文證實正確無誤，史密斯就可要求獲得由美國麻州劍橋的克雷數學研究所提供的一百萬獎金。克雷數學研究所在二○○○年，將納維爾–史托克斯方程式，列入七大世紀數學難題的懸賞之列（詳見《知識通訊評論》四十二期〈數學諾貝爾獎的俄國勝利〉）。

納維爾–史托克斯方程式描述液體流動的情形，是將牛頓力學定律應用在無法壓縮的液體流動情況，並加入計算液體黏度摩擦所造成的能量損失，從而導出的一組方程式。數學家想要知道的是，這些方程式是否總是循規蹈矩，或是有時候其解會離散；這等於會製造出一些物理上不可能出現的情況，像是流體質量消失之類的。史密斯聲稱她證明了這些方程式的解永遠不會離散。

該領域的專家表示，要說這篇論文是否正確言之尚早，不過他們已開始仔細研究。其中一位在審查這篇論文的，是美國紐澤西州普林斯頓大學的數學家菲佛曼 (Charles Fefferman) ，他為克雷數學研究所撰寫納維爾–史托克斯難題的敘述文字。他表示倘若這篇論文結果真的是正確的，那將會是高階數學的亮麗成就。

納維爾–史托克斯方程式不僅是數學家所面臨之挑戰的基礎，也可支撐許多物理學與工程學的實作問題，比方說設計化學工廠。任何解決這套方程式的數學發展，也可用在電腦模擬之中，或是為亂流之類複雜現象的本質，提供新的洞見。

挑戰當前

史密斯表示，是一位同事的激策才使得她去解決這個數學難題，而且一個月前才開始著手研究。她說她的專長是解微分方程，而且發展出一些新的數學工具來解方程式。她有次演講敘述這些工具如何可以應用於另一套方程式上面；演講結束時，有人問她說何不研究一個克雷數學研究所提出的數學難題，所以她就去找一個跟微分方程有關的。

史密斯發現納維爾–史托克斯方程式可以被寫成微分方程的形式，而她知道怎麼去解，方法是設定解的上下界限，然後將它們擠壓，顯示出這些界限會收斂。她說她貼到線上的那篇論文，也已經投稿到《數學分析應用期刊》。

史密斯說她很有信心結果是正確的，不然根本不會把它投稿到任何地方；不過當然啦，有這麼多人對此投以關注，確實會使一個人曾經有過的不安全感浮現。這份焦慮讓她在把論文貼上 arXiv 預印本伺服器之後，又修訂了好幾次；不過她說這些改變只是在修訂印刷錯誤，非關重要數學的問題。

不過史密斯在十月八日又把這篇論文從 arXiv 伺服器撤下，表示說她發現裡面有個嚴重的瑕疵，必須先撤回來修改。

證明在目

菲佛曼表示，先前曾經有人宣稱過解出了納維爾–史托克斯難題。他記得在過去幾年裡曾經看過也許半打這類的論文，通常他在幾個小時裡就發現內有顯而易見的致命錯誤。

菲佛曼預料，評估史密斯的研究成果需要更長的時間。雖然這篇論文本身僅達九頁，但是它相當倚重史密斯先前發表的論文內容，所以菲佛曼也必須把那些論文掃過一遍。那些先前發表的論文不是刊登在經過同儕審查的期刊，就是標示為「即將刊登」；菲佛曼說這增加了那些論文正確的機率，但是事關重大，他不會隨意採信。

史密斯說她曾經跟佩雷爾曼 (Grigory Perelman) 一起參加過研討會，咸信這位俄羅斯數學家已解出另一個世紀數學難題：龐加萊猜想 (Poincare Conjecture) 。他最近拒絕接受數學界最具名望的費爾茲獎（詳見《知識通訊評論》四十三期〈費爾茲獎的背後〉），謠傳說如果克雷數學研究所將百萬美元的賞金頒發給他，他也不會接受。

就像佩雷爾曼一樣，史密斯說她是為了數學做這項研究，不是為了錢。她希望能夠成為數學界女性的模範，不過她表示話說回來，她當然想要得獎囉。

克雷數學研究所所長卡爾森 (James Carlson) 表示，他正在徵詢各方對這篇論文的意見，但補充說要斷言它是否正確尚言之過早。若要贏得此獎，史密斯的研究成果必須刊登於經過同儕審查的期刊，還得經歷兩年的檢驗。