布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(II)
布里格斯的《對數算術》與對數表的製作(II) (Briggs’ Arithmetica Logarithmica and the creation of logarithmic table, part 2)
臺北市立西松高中蘇惠玉教師
《對數算術》第 $$5$$～$$7$$ 章
第 $$5$$ 章到第 $$8$$ 章為計算以 $$10$$ 為底的對數的主要方法。在第 $$5$$ 章中所提的方法，布里格斯將它歸功於納皮爾。他以 $$\log 5$$ 與 $$\log 7$$ 為例，說明小一點的質數如何求其對數值。考慮 $$\log 2$$，先計算 $$2$$ 的次方，並標明其位數。
為了使對數值精確到小數點後第 $$14$$ 位，布里格斯計算到了 $$2^{10^{14}}$$；不過，他也不是每個都算，而是以四個數一組，每次都計算次方為 $$2\times 10^k,4\times 10^k,8\times 10^k,10\times 10^k$$ 的四個數的位數，如下圖一。在計算位數時，布里格斯並沒有將每個數完整算出後計算，他利用了下面這個性質：如要計算兩數相乘後的位數，考慮這兩數的首幾位數字，相乘後的位數不是兩者位數相加，就是兩者位數相加再減 $$1$$，如下圖二。
圖一
圖二
當 $$2^{10^{14}}$$ 的位數為 $$M$$ 時，因為 $$\log {2^{{{10}^{14}}}} = {10^{14}} \cdot \log 2 = (M – 1) + \log N$$，
所以 $$\log 2 = \frac{{M – 1}}{{{{10}^{14}}}} + \frac{{\log N}}{{{{10}^{14}}}}$$ ，後面的 $$\frac{{\log N}}{{{{10}^{14}}}}$$ 太小忽略不計，因此可得 $$\log 2 \approx \frac{{M – 1}}{{{{10}^{14}}}}$$ 。
布里格斯計算所得的 $$M$$ 為 $$3010,29995,66399$$，
故可得 $$\log 2 \approx 0.030102999566398$$。
在第 $$6$$ 章與第 $$7$$ 章中，他使用所謂的連續開方法（continued mean number）。
在第 $$6$$ 章中，他先利用這個方法找出 $$1+x$$ 的對數值，其中 $$x>0$$ 但很接近於 $$0$$。
他先將 $$10$$ 連續開平方根，即在 $$1$$ 和 $$10$$ 之間一直求幾何平均數：
$$\sqrt {1 \cdot 10}= {10^{\frac{1}{2}}},\sqrt{1\cdot\sqrt{10}}={10^{\frac{1}{4}}},\sqrt {1\cdot 10^{1/4}}={10^{\frac{1}{8}}}\cdots$$；
他為了要使得到的對數正確到小數點後 $$14$$ 位，
因此他計算到小數點後的 $$0$$ 與這些 $$0$$ 之後的數字有相同的位數，
因此連續開方 $$54$$ 次，計算到 $$10^{1/2^{54}}=r=1+\Delta$$，
其中 $$\Delta=0.0(15)12781,91493,20032,3442$$
（註：$$0(15)$$ 中的 $$15$$ 表示在小數點後有 $$15$$ 個 $$0$$）；
同時也從 $$1$$ 開始連續除以 $$2$$，計算了 $$54$$ 次，
得到 $$\frac{1}{2^{54}}=0.0(16)555111512312578270212$$，令其值為 $$l$$，
取對數之後，可得 $$\log r=\log(1+\Delta)=l$$ 為已知，此時 $$\Delta$$ 是個很小的數。
從前面第 $$2$$ 章的定理知道真數的次方 $$(r^n)$$ 與對數值 $$(nl)$$ 間有比例關係；
又因為 $$\Delta$$ 足夠小，因此有下面的對應關係：
可知真數去掉 $$1$$ 之後的小數與對數值之間亦有同樣的比例關係。
他舉例說明了這樣的比例關係如何使用：
按照比例關係，$$P$$ 與 $$X$$ 去掉 $$1$$ 之後的值與其對數值成比例，即
$$0.0000000000000001278191493200323442:0.0000000000000001=0.0000000000000000555111512312578270212:\log X$$
因此可得 $$\log X=0.0000000000000000434294481903251804$$
因此，當真數為 $$1+\delta$$，$$\delta$$ 是個很小的正數時，若設 $$\delta=t\Delta$$（即 $$t=\frac{\delta}{\Delta}$$），
可得 $$\log(1+\delta)\approx tl\approx \frac{l}{\Delta}\delta$$；
若再令 $$k=\frac{l}{\Delta}$$，$$k$$ 就成了一已知的常數值，可用於類似的對數求值，
因此布里格斯可得到一個簡單好用的工具：$$\log(1+\delta)=k\delta$$。
接著在第 $$7$$ 章中，布里格斯利用這個結果來計算 $$\log 2,\log 3$$ 的值。
以 $$\log 2$$ 為例，他首先計算 $$\log 1.024$$ 的值：
因為若 $$\log 1.024=P$$ 為已知，
則有 $$\log 1.024 = \log \frac{{1024}}{{1000}} = 10\log 2 – 3 = P$$，那麼 $$\log 2 = \frac{{P + 3}}{{10}}$$。
利用第 $$6$$ 章的連續開方法，
他將 $$1.024$$ 連續開方，作到第 $$47$$ 次，才使得其值小數點後有 $$15$$ 個 $$0$$，
即 $$(1.024)^{1/2^{47}}=1.0(15)16851605705394977$$，
令其值為 $$1+\delta~(\delta=0.0(15)16851605705394977)$$，
因此 $$\log(1.024)^{1/2^{47}}=\log(1+\delta)\approx k\delta$$，其中 $$k$$ 是第 $$6$$ 章算出來的已知常數。
如此一來就可求得 $$\log 1.024=2^{47}\times k\delta$$，
最後他計算得 $$\log 2=0.30102,99956,63981,195$$。同理可算得 $$\log 3$$ 的值。
在這一章最後，他利用前幾章所得到的對數性質計算 $$\log 5$$ 與 $$\log 6$$，
特別在計算 $$\log 6$$ 時用了 $$\frac{6^9}{10^7}$$，這個數關聯到下一章的方法。
另外，值得一提的是布里格斯選擇一個與 $$1$$ 足夠接近的數 $$10^{\frac{1}{2^{54}}}$$，
根據他的算法距離，我們發現自然對數的底 $$e$$ 這個常數只剩一步之遙而已。
設 $$10^{\frac{1}{2^n}}=1+x$$，其中 $$x$$ 是個很小的數。
由於 $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$，故當 $$x$$ 很小時，$$\ln(1+x)\approx x=\frac{1}{2^n}\times \ln 10$$。
在布里格斯的計算中，$$10^{\frac{1}{2^{54}}}=1+\Delta$$，令 $$\frac{1}{2^{54}}=l$$，因此 $$\ln(1+\Delta)\approx \Delta=l\times \ln 10$$，
亦即布里格斯計算的常數 $$\frac{l}{\Delta } = \frac{1}{{\ln 10}} = \log e$$。
當然此時的布里格斯並不知道 $$\ln(1+x)$$ 的展開式。雖說是一步，卻也是需要跨過一道坎的一步啊。
參考資料：
- Briggs’ Arithmetica Logarithmica, translated and annotated by Ian Bruce, http://www.17centurymaths.com/contents/albriggs.html
- 林倉億（2011），〈怎麼算log2〉，數學學科中心電子報第52期。
- 蘇俊鴻（2003），〈數學史融入教學－以對數為例〉，《HPM通訊》第6卷23期合刊。
- 曹亮吉（2010），〈對數表的製作〉，網址：/highscope/?p=14488
- 網路資源：The Difference Method of Henry Briggs，網址：http://www.jacques-laporte.org/The%20method%20of%20Henry%20briggs.htm
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