斐波那契及其兔子 (Fibonacci and his rabbits)
臺北市教育大學數學與資訊學系蘇意雯助理教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
本文介紹斐波那契(Leonardo Bonacci) 的生平及其著作，希望讀者得以理解他的《計算書》之創作背景。
一般人（包括科普作者）提及斐波那契時，都會引述以他的名字命名的數列 $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…$$ 如何與兔子繁殖相關。不過，他的數學著作內容與名字之來源，恐怕就很少人留意。現在，我們就先澄清這兩個問題。
首先，科普作家當然都會提及斐波那契在1202年出版的名著《計算書》(Liber abbci)。然而，這本書一直都被誤解為討論算盤的書籍。這可能是因為它的拉丁文名銜 Liber abbci 直譯成英文，就是“Book on Abacus”，從而譯成中文，就成了不折不扣的「算盤書」了。
費馬最後定理（Fermat’s Last Theorem）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
費馬最後定理是一個響叮噹的名字，本文提供一個簡要的故事版本，希望有助於理解此一定理的解決過程之歷史意義。
費馬最後定理當然跟費馬有關，請先看費馬的故事。
費馬（Pierre de Fermat, 1601-1665）是數學史上公認最偉大的業餘數學家。他年輕時他就讀法學院，後來擔任法國城市土魯斯（Toulouse）的市議員。隨著經歷與職位的提升，最後成為土魯斯刑事法庭的成員。作為一位法官，費馬被大家認為頭腦清楚，但時常心不在焉。
從上述這個有關費馬生涯的片段，完全看不出為何直至今日我們仍會紀念他與談論他。我們會這麼做的理由，當然與他生命的另一面向有關。在費馬人生的某一時間點，或許是他在波爾多（Bordeaux）就讀大學的時候，他發現了數學，而這個發現成為他寄託終生的熱情所在。
皮亞諾公設(Peano axiom)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
自然數的皮亞諾公設是數系的發展基礎，它簡要地說明了數學是一種基於公設的邏輯結構。
自然數的理論基礎，是數系發展的邏輯起點，對於十九世紀開始大力追求分析學嚴密化的數學家而言，當然至為重要。不過，這有賴於集合理論的系統性發展以及對於基數(cardinal number) 概念的進一步澄清，而這些都必須等到十九世紀後期康托爾 (Georg Cantor) 的相關研究之後，才開始萌芽。
邏輯循環謬誤（On Circular fallacy）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
有關邏輯的循環謬誤出現在非常基本的命題論證，本文提供了一般人視為理所當然的例子，供教師參考與借鑑。
美國加州公立數學課程綱要K-12的「論理嚴密」，一向廣受國內數學家推崇：因為他們指出：「數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟(intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。」
無限與集合論（The infinite and set theory）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
集合論不只是集合的簡單運算而已，康托爾的創立此一理論之初衷，是想要藉此探索無限作為一個物件的特性。
「無限」可以區分大小等級，這是幾乎不可能想像得到的事物，因為這預設了無限可以視同為一種數學物件（mathematical object）。然而，數學史上如高斯這樣偉大的數學家都曾經只能將無限視為一種過程（process），無怪乎利用集合來表徵無限集體的康托爾（Georg Cantor），會在十九世紀下半葉，遭受到數學界那麼巨大的反撲！
事實上，無限作為一個不會結束的過程之想法，很久以來一直是個有用的數學工具。古希臘人據以處理不可公度的量以及求曲線形面積的「窮盡法」，乃至於微積分基礎概念－極限－的底層憑藉，都離不開無限的概念。然而，處理物件的無限集體，則是相當新穎的數學活動。
數學家傳記及其教學之反思（On biography of mathematicians and its use in classroom）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
數學家傳記是很好的數學教學題材，本文針對教材選擇與教學策略，提供一些初步的建議。
一般而言，專業數學史家出版學術性的數學家傳記，都不是為了普及的目的。不過，目前倒是有頗多的數學家傳記，卻是由科普作家所出版，其創作關懷值得我們推薦。
就出版記錄來看，Eric T. Bell似乎最早使用數學家傳記作為一種（普及）策略，特別是生動的軼事，以方便引介這些數學家的發現成果給社會大眾，他的《大數學家》(Men of Mathematics)，儘管不無誇張渲染或扭曲史實，仍然吸引頗多讀者的注意。
非歐幾何（Non-Euclidean geometry）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
本文簡要說明非歐幾何的歷史發展，及其與《幾何原本》第五設準之關連。
歐幾里得對平面幾何的系統化處理實在相當完備，以致於經過兩千年以上的時間，吾人才得以揭開一層蓋在歐氏幾何中心地帶的神秘面紗。而此一揭示，就導出了非歐幾何學，繼而對於所謂的「真實幾何」帶來了革命性的衝擊，永遠改變我們的數學真理信仰。
整個故事要從歐幾里得的第五設準說起：「一條直線與另外兩條直線相交，若某一側的兩個內角和小於兩直角，則這兩條直線不斷延長後在這一側相交。」
歐幾里得《幾何原本》的設準與公理（Postulates and common notions in Euclid’s Elements）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
設準與公理之別已經不見於今日數學，不過，釐清它們將可大大地幫助我們進入歐幾里得的幾何世界之中。
現代數學的公設主義源自古希臘歐幾里得的《幾何原本》。因此，吾人若有意體會數學公設系統之精神，那麼，好好地研讀這一本流傳僅次於《聖經》的經典作品，向歐幾里得大師學習，的確是不二法門。
《幾何原本》以下列五個設準（postulate）作為基礎：設定下面敘述成為準則：
數學是什麼？（What is mathematics?）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
何謂數學？這個問題的答案隨著數學的發展歷程，而有了越來越豐富的說法。目前，數學家較有共識的答案是：數學是一種研究模式（pattern）的科學。