傅科擺(Foucault pendulum)

Posted on 2013/10/19 in 物理, 轉動, 運動與力 with 尚無留言 13,436 views

傅科擺(Foucault pendulum)
國立臺灣大學物理所黃一玄

「這現象靜默的展現，既無形也永不停止。人們可以感覺到，可以看到它穩定的生成，它不受人為力量而加快或是減緩。看到這件事實的任何人都會駐足沉思、沉默片刻。而之後伴他離去的，則是那個對我們在太空中持續不間的運行有更敏銳體驗的永恆感覺。」
───傅科 (譯自Amir D. Aczel, Pendulum : Léon Foucault and the Triumph of Science, p xi, Atria Books (2004))

圖一照片來源：http://www.flickr.com/photos/iceninejon/289908913/sizes/l/in/photostream/

法國科學家傅科在1851年建造一座巨大的擺，擺線長67公尺，擺球重28公斤，懸於巴黎萬神殿(Pantheon)的圓頂，用來展示地球自轉，這是第一個直接明白地顯示地球自轉的展式性實驗(圖一)。

傅科擺的設置是懸一長線，使其可不受限制、自由往任何方向擺動，亦即其擺面(plane of oscillation)可以是任何垂直於地表的平面，而在底下懸掛大質量擺球，接在擺線末端。在傅科擺往復擺盪的過程中，因受到地球自轉造成的科氏力影響，使得擺面隨之不斷相對於地球轉動。在北半球，對於地面上的觀測者而言，擺面順時針轉動，或說擺盪行徑過程中不斷往右偏移；而在南半球，擺面逆時針轉動，或說不斷往左偏移。

根據計算，傅科擺的擺面轉動週期為 T = 23.934 小時 / sin (φ)[註1] ，角速度ω =360°·sinφ/天 (φ：緯度，ω：順時針為正方向)

在北極點或南極點，擺面需要一恆星日(1 sidereal day)繞完整一圈，而在赤道，擺面則相對於地球而言固定。在其他點則隨緯度高低而有不同，不過繞一圈需要時間都比在南北極點花的時間來得長。例如義大利著名的時裝、文化、經濟重鎮─米蘭─其緯度大約在 φ=45°N，傅科擺大約每33小時轉一圈。圖二為分別在北極、北緯45度、以及赤道上的傅科擺隨著地球自轉之擺動示意圖。從圖中可以發現：位於北極的傅科擺永遠在綠色平面上擺動，而赤道上的傅科擺永遠在橘色平面上擺動(但注意到橘色平面本身則隨著地球自轉一直在轉動)；介於兩者間的北緯45度傅科擺之擺面則以順時針方向慢慢轉動。以下對此運動稍做說明。

Foucault pendula on earth-animate+earth spin+Correct Map

圖二(陳義裕繪)

在北極點(或南極點)的運動：
想像在北極點的一個傅科擺，擺軸在地軸延伸出去的上方，擺面橫跨北極點，以擺本身為參考座標系，對於擺錘而言，沒有側向力的影響，因此擺本身在空中持續不斷的在同一個平面上擺盪(即圖二中的綠色平面)，而地球則在其底下逆時針旋轉。若以地球為參考座標系，則見擺順時針旋轉，而擺每次的往復，都往右轉一點。

在赤道上的運動：
在赤道上的傅科擺，在赤道面上擺動，因為沒有受到側向科氏力的影響，所以它就繼續保持固定在圖二中的橘色平面擺動。

在其他緯度上的運動(較上面兩個特殊狀況複雜)，有多種方法可以分析這個問題，這裡提其中一種[註2]：

如下圖三，傅科擺從P移動到P’，緯度φ，小圓圓心C點，分別與通過P跟P’的大圓之兩條切線則相交於K點。

當時間間距夠小時， δβ ≈ PP’/KP, δα=PP’/CP , sin(φ)=CP/KP (OPK 直角，所以緯度φ=角CKP)

因此，δβ=δα·sinα

圖片引自參考資料6

現在考慮擺本身的運動，當δβ夠小，而擺的幅度也很小的時候，對於從P移動到P’的擺，我們可以把擺錘當作在KPP’平面上移動(如下圖四)。現在假設在P點時，擺錘擺動方向(圖四通過P點左斜線)與▁KP夾角γ，而在P’點時，擺動方向(圖四通過P’點左斜線)與 KP’ 夾角γ+δβ(通過P與通過P’的路徑幾乎平行，平行線對應角相等)。因此，當地球從P轉到P’所轉角度為δα，此時擺面相對於經線轉動角度δβ(這角度跟擺當時擺動所處角度γ無關)。因此當地球轉動一圈時，α=360°，β=360°·sinφ，得到角度速ω=360°·sinφ/天跟週期T=24小時/sin(φ)。