數學史

和算家求橢圓周長的方法（一）
（Wasan’s method of finding the formula of the circumference of an ellipse Ⅰ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

相較於圓周長與而言，橢圓周長是早期數學家們感到棘手的問題。一般而言，我們可以利用定積分法，求得橢圓的面積。

首先，不失一般性，我們可把橢圓的長軸固定在 \(x\) 軸的方向上，
則其標準方程式為：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) （長軸半長為 \(a\)，短軸半長為 \(b\)）。
當我們考慮函數 \(y=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\) 時，可以利用定積分求得橢圓面積為第一象限部份面積的 \(4\) 倍（如圖一所示），即 \(ab\pi\)。特別地，當橢圓的長軸與短軸等長（亦即當 \(2a=2b\)）時，可得圓面積公式 \(\pi a^2\)。

圖一\(~~\)橢圓面積為第一象限部份面積(黃色部份)之四倍

行列式的濫觴：萊布尼茲 (2)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）

在〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉中，介紹了萊布尼茲透過所創立的數字符號，寫出三個二元一次方程式有共同解的條件，也就是相當於今日行列式的展開式。可惜的是，萊布尼茲與羅必達的通信，直到1850年才公開。在此之前，其他數學家並不知道萊布尼茲在這方面的成就。事實上，萊布尼茲是有意要隱瞞他的發現的，根據1863年公布的史料看來，萊布尼茲可能早在1678年就已經寫出這些結論，但一直把它當作祕密保守著。無怪乎，他會在信中向羅必達表示從未向其他人透露過這個巨大的發現。

利用係數來討論方程式的解，萊布尼茲並非第一人。事實上，無論是韋達還是笛卡兒，都有這方面的成果。不過，萊布尼茲獨特之處在於利用兩個足標來表示係數，這對以後無論是行列式或是矩陣理論的一般化提供了有利的工具。雖然他與羅必達的通信在1850年才公開，但他在1700-1710年間出版的兩份文件中，就已展現這種符號的使用。

行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中，中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略，接下來這系列的文章，就是為它補上一些細節。首先登場的，就是萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716)。

1693年4月28日萊布尼茲寫給羅必達 (Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, 1661-1704)的信中，開門見山地寫道：

我一定沒有解釋得很清楚，所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母，像字母一般且便利的使用。如果允許將2、3等當作a或b來使用，而不是當作真的數字，那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式，就不是6，而是ab。至於便利性，正是因為便利，所以我本身經常使用它們，特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外，甚至是用「去9法」（註一）來檢驗，我還發現使用上有一個很大的好處，就是分析。雖然這是十分巨大的發現，但我還沒有告訴任何人，以下就是這個發現。

從這封信中可看出用文字符號來的使用在當時已經是十分自然的事了，現在萊布尼茲要反其道而行，用數字來代替文字，所以，羅必達在上封信中表達了自己的疑惑。由此，也可以看出，住在法國的羅必達透過信件往返，與身在日耳曼的萊布尼茲在數學上進行跨國交流。再者，羅必達對萊布尼茲來說，必定是相當在意的人，不然，萊布尼茲怎會透露自己的巨大發現，還強調從沒告訴過任何人。無論是搞神祕還是故意吹噓，都達到引人一探究竟的效果。

和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法（Determinants in Wasan (5): Laplace Expansion）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(4)：降階展開法

日本和算家對行列式展開的研究，在關孝和之後有了長足的進展。除了前文介紹過的井關知辰外，本文要介紹另一位和算家久留島義太 (Kurushima Yoshihiro, ?-1757)及其提出的行列式展開法，相當於今日所稱的「拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, 法國) 展開法」。

久留島義太屬於天才型的和算家，他對數學的認識並非來自老師的教導，而是從數學書《新篇塵劫記》中自學而來；後來與當時的和算家，特別是關流的和算家進行學術上的交流，豐富其數學研究的主題，並開拓新的研究領域，對後世和算的發展有著深遠的影響。因此，有人將他與關孝和、建部賢弘並稱為三大和算家。據後人的記載，久留島義太生性浪漫，雖然數學造詣很高，但沒有形成自己的門派，也沒有將著作出版，僅以稿本的形式在和算家間傳抄，身後留下《久氏遺書》一部。

和算中的行列式(4)：降階展開法
（Determinants in Wasan (4): The Reductive Algorithm）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）

關孝和提出相當於今日的行列式求法後，吸引不少和算家相繼投入研究，不僅改正了關孝和算法中的錯誤（當行列式是五階以上時，所求得的值是錯的），也提出了新的算法。本文要介紹的，就是相當於今日高中課堂上俗稱的「降階展開法」，也稱為「范德蒙 (Vandermonde, 1735-1796, 法國) 展開法」。

在目前可見的文獻中，最早寫出這個算法的是井關知辰 (Izeki Tomotoki)。井關知辰在1690年所著的《算法發揮》上卷中，用「陽率」來稱呼行列式，而「陰率」則是行列式展開後的結果。例如，「平陽率」、「立陽率」、「三陽率」分別代表二階、三階、四階行列式，「平陰率」、「立陰率」、「三陰率」則代表對應的行列式展開式。井關知辰在書中最高列出了「四陽率」與「四陰率」，也就是五階行列式及其展開式，並寫下如何展開更高階「陽率」的方法。 

和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）（Determinants in Wasan (3): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 2）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）

〈和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）〉介紹了關孝和如何從解多元高次方程組中，發展出類似今日行列式的概念。然而，即便是今日，多元高次方程組求解仍是一件困難的工作。所以，關孝和能處理多元高次方程組，更顯得他在數學上的造詣深厚。以下透過幾個簡單的實例，讓讀者更熟悉關孝和的方法，也指出這個方法也有無能為力的時候。

例1：解 $$\left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1\\ {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2} = 5\\ {(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} = 13 \end{array} \right.$$。

【關孝和的方法】：

方程組可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 2y + 1) – 2x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4y + 3) – 4x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 6y + 5) – 6x + {x^2} = 0 \end{array} \right.$$，

利用係數所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 2y + 1}&{ – 2}&1\\ {{y^2} – 4y + 3}&{ – 4}&1\\ {{y^2} – 6y + 5}&{ – 6}&1 \end{array}} \right| = 0$$，

但左式展開後各項均消去，得到 $$0=0$$ 的恆等式，而非 $$y$$ 的方程式，因此無從求 $$y$$ 之值。

和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）
（Determinants in Wasan (2): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 1）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(1)：創立者關孝和

關孝和《解伏題之法》(1683年)的主要內容是解多元高次方程組。他提出了六個步驟：真虛、兩式、定乘、換式、生剋、寄消。其中的第五個步驟「生剋」，就相當於今日將行列式展開的過程，其「生」（以紅色表示）、「剋」（以黑色表示）就是在決定展開後每一項的正、負號。以今日的術語來說，關孝和在書中提出相當於將二至五階行列式展開的方法，並寫下二至四階的行列式展開式。

以二階行列式為例，關孝和呈現的方式如下表一，

然後說乙丙相乘是「生」，丁甲相乘是「剋」，

用今日符號表示的話，就是 

關孝和還用下圖一來表示這規則。

和算中的行列式(1)：創立者關孝和
（Determinants in Wasan (1): Seki Takakazu, the originator）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

日本江戶時代 (1603-1867，即德川幕府時代) 的數學家在吸納了來自中國的數學知識後，獨立發展出許多新理論及新算法，後人就將這時期的數學稱為「和算」，這時期的數學家就稱為「和算家」。在這些和算家中，最突出也最具代表性的一位，就是關孝和。他不但被後世稱為「算聖」，更是世界上最早提出行列式的人之一。

我們對關孝和的生平所知不多，就連他是不是在1642年出生的，現在仍有爭議；不過，1708年離開人世，這殆無疑問。關孝和本姓內山，過繼給一位關姓武士後才改姓。關孝和是甲府宰相德川綱重及其子德川綱豐的家臣，擔任「勘定吟味役」的職位，相當於會計總管的職務。在德川綱豐成為德川將軍的養子後，關孝和也就成為幕府直屬的武士，官至「御納戶組頭」，負責幕府的用具。總而言之，關孝和在官途上並沒有什麼特別之處，就是以家臣的身份，為領主奉獻心力。

相較於平凡的仕途，關孝和在數學上的成果就更顯得非凡燦爛了。

西方行列式的發展：貝祖的研究
(The Development of Determinants in West: Bézout’s Work)
國立臺南第一高級中學林倉億老師

萊布尼茲雖然可被視為西方第一個做出行列式相關研究的人，但他對後來的發展影響並不大（參閱本網站〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉一文）。真正廣為人知的，是克拉瑪對聯立方程組的研究，以其名命名的「克拉瑪公式」更是現行高中教材中的內容。關於克拉瑪在行列式方面的工作，也請參閱本網站的文章：〈克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式〉，筆者在此不再贅述。但也要提醒讀者，在克拉瑪之前，蘇格蘭愛丁堡大學的數學教授麥克勞林已提出相當於二元與三元聯立方程組的「克拉瑪公式」，本網站〈各式聯立方程組的程序性解法(1)：麥克勞林與卡丹諾〉一文對此有簡短的介紹。本文要介紹的，是法國數學家艾帝安‧貝祖 (Étienne Bézout, 1730-1783) 於1764年提出的成果。