《原理》的故事

數學教授牛頓畢生最重要的工作,

就是以「幾何」和「微積分」分析克卜勒行星律,

也因此開創近代物理中,與幾何和微積分結合的物理學。

本次講座將介绍牛頓努力的經過及關鍵的數學。

撰文:高英哲

《原理》是《自然哲學的數學原理》的簡稱,是牛頓在 1687 年出版的重量級著作。《原理》倣效《幾何原理》的架構,提出了八大定義、三大定律、以及 11 個處理微積分問題的引理。但是在這些精煉的命題背後,帶有不少當代科學家的精彩互動,以及恩怨情仇。

牛頓在《原理》一書中,處理了克卜勒的三大行星律——面積律、橢圓律、週期律。牛頓以多項命題概括了這三大行星律,首先在命題 1 跟命題 2 ,說明面積律等價於向心力,也就是所謂的角動量守恆;接著在命題 11 跟 17 ,提出平方反比規律,推得橢圓的行星軌道;週期律則是在命題 4 裡,算出克卜勒的行星若是進行等速圓周運動,則圓周運動的週期律等價於距離平方反比力。

我們可以注意到在牛頓表示週期律的數學式中,就帶有萬有引力常數。張教授用一首自創的打油詩,把克卜勒的三大行星律跟牛頓的萬有引力,做了絕妙的結合:

面積即向心
週期表萬有
橢圓和焦點
反比是平方

換句話說,虎克等人雖然隱約有猜到橢圓律裡平方反比的關係,卻無法真正洞悉橢圓律的奧祕;牛頓的貢獻在於他用嚴謹的數學,從橢圓律推得平方反比的關係。牛頓得以參透宇宙運行的規則,並不是完全靠他的一己之才,姚珩教授在前一場科學史沙龍的講座中,便已指出牛頓在跟虎克一系列的書信往來中,得到建構力學系統的靈感。但是跟虎克非常不對盤的牛頓,可一點也不打算領這個情;虎克透過跟牛頓關係良好的哈雷,要求牛頓在《原理》要提到他的貢獻,就遭到牛頓峻拒。

牛頓甚至在給哈雷的書信中,相當不客氣地回覆道:「⋯⋯數學家們(當然是指牛頓自己)總是在發現,總是在創造,總是在證明⋯⋯而另外那位老兄(這就是暗指虎克啦)什麼也證明不了。我好像應當要承認,我的一切都是從他那兒得來的,我只是做點計算跟證明,幫這位偉大人物的發明做牛做馬而已。」

牛頓在虎克逝世後接任英國皇家學會會長一職,曾經下令取下虎克的肖像(這大概是我們今日幾乎不識虎克廬山真面目的原因),並且差點把他所有的手稿跟儀器付之一炬。牛頓的小心眼也不是只針對虎克,他跟萊布尼茲爭奪發明微積分的歷史定位,出手同樣毫不容情。這些隱藏在學術經典著作背後的恩怨情仇,讓我們在看似理性平和的方程式裡,彷彿能嗅到幾許人味。

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日期: 2015/11/24 講師頭銜: 國立臺灣大學數學系退休教授 講題: 《原理》的故事 地點: 國立臺灣大學思亮館國際會議廳 演講特稿: 看精華文章(點我) 活動照片: 看精彩花絮(點我)