航海時代的數學應用

在衛星定位系統發展之前,航海者若要知道自己所在地的經緯度,必須利用恒星或太陽在天上的位置來協助定位。基本的方法是用恒星或太陽的仰角和方位角,以sine,cosine將之轉成一個單位向量,再利用向量的内積外積求得相關的夾角。更要緊的,是要有一個紀錄格林威治當地時間的錶,以及從格林威治觀測的星圖。

撰文:高英哲

在沒有現代科技輔助的大航海時代,要在茫茫大海中定位經緯度,需要觀測天象,再運用數學知識加以計算。張海潮教授在本講中,為聽眾介紹具體的做法。

要測知我們在地球上某處的經緯度,首先要給天上的星體定位,然後才能夠以星體之間,或是星體與地球之間的相對關係,算出自己的位置。我們在夜間所見的星空,分佈在天球上;天球跟地球一樣也有經緯度,分成赤經緯跟黃經緯兩個系統。測量星體赤經緯,主要的數學工具是三角函數,也就是運用正弦跟餘弦,計算天球上星體的相對距離;到了 16 世紀以後,改用向量來做標記,測量星體的數學工具就更為完備了。把星體按照所在赤經緯標示列表,就叫做星表;克卜勒當年就曾經製作過一份鉅細靡遺的星表,所載星體多達一千兩百多顆。

要計算地球上所在位置的緯度比較簡單,只需要測量天頂跟北極星的夾角,其餘角就是所在位置的緯度。比方說我們站在台北,面向北方,將手舉高對向北極星,可以測得北極星與地平線的夾角約為 25 度;經過簡單的餘角換算,就可以得到台北所在位置與赤道的夾角,同樣是 25 度,這就是台北所在的緯度。

計算經度比較麻煩,因為地球自轉的緣故,無法從天上星星的經度,直接得知地球上所在位置的經度。要計算經度必須要有個參考點,我們以通過英國格林威治的經度線為零度,並且將天球上所有已知星體,在每一個時間與格林威治的經度差(也就是星體與天北極決定的子午線,跟格林威治與天北極決定的子午線,兩者之間的差距),編纂成航海年鑑。如此一來,在大海中航行的船隻,只要以六分儀之類的儀器,觀測某顆已知星體的向量(仰角加上方位角),計算出船隻所在位置與該星體的經度差,再查閱航海年鑑,得知此時此刻這個星體與格林威治的經度差,兩者相減之後的結果,就是船隻所在位置的經度。這樣做的前提是必須要知道格林威治當下的時間,在 1750 年做出準確的航海鐘之後,這問題就迎刃而解了。

現代船隻都配有 GPS 衛星定位系統,為防失靈還配置兩套,已經不需要航海員辛苦地持續觀測天象,進行繁雜的計算;以前當船長必考的六分儀操作,現在也取消了。這套藉由觀測天象,運用數學原理計算方位的技術,如今已成為「時代的眼淚」,不過我們還是可以從中學到一套解決問題的思考方法,這是與時俱進,永遠不會過時的。

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日期: 2017/7/9(日) 主題: 大航海時代的故事 講題: 航海時代的數學應用 地點: 華山文創園區中三館2樓拱廳 活動照片: 華山場地真的很美