比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（上）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教材論及原子軌域時，總會談到 $$ns$$、$$2p$$ 及 $$3p$$ 軌域，因為接下來就會討論 $$s$$、$$p$$ 的混成軌域及原子間的鍵銡情形。但是教科書中所繪製的軌域圖形，均以立體的模型，將含電子機率約 $$90\%$$ 的範圍，利用專業軟體繪如 Maple V、Mathmatica 等將其繪製出來。此方式有其不利之處，其一是只能觀其外表，其內部電子的分部情形為何？卻難以得知，其二 專業軟體較為昂貴，如何使用也必須學習。
似氫原子2s軌域的解析（下） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
連結： 似氫原子2s軌域的解析（上）
二、電子出現在似氫原子 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少
欲求圖四中電子出現在 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少？則必須對徑向機率函數從 $$0$$ 積分到 $$2a_0/Z$$，即求圖四中第一個小山丘的面積，可表示如下：
\begin{array}{ll} \displaystyle\int^{2a_0/Z}_{0}4\pi|\varphi_{2s}|^2r^2dr&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(2-\frac{Zr}{a_0})^2r^2e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\\&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(4r^2-\frac{4Zr^3}{a_0}+\frac{Z^2r^4}{a^{2}_0})e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\end{array}
似氫原子2s軌域的解析（上） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授原子軌域及混成軌域時，總會有好奇的學生抛出似懂非懂的問題：$$1s$$ 和 $$2s$$ 軌域均為圓球的形狀，它們除了大小不同以外，其他都一樣嗎？電子隨徑向(radial)呈現不均勻的分佈，也只會出現一個最可能半徑(the most probable radius)嗎？
2s 軌域的能階為何比 2p 軌域低？ Why is the 2s orbital lower in energy than the 2p orbital?
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授氫原子及多電子原子的軌域能階時，總會告訴學生氫原子 $$2s$$ 和 $$2p$$ 軌域的能階相等，而在多電子原子時則 $$2s$$ 軌域的能階比 $$2p$$ 低，至於為何會有這種現象，老師通常會說這是量子力學計算的結果，以後大家就會知道了。
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (下) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
三、$$2sp^2$$ 軌域的等高線圖
圖一中三個 $$2sp^2$$ 軌域的等高線圖，若依據(式-4)、(式-6)和(式-7)實際在Excel軟體上繪圖，其所得的結果是不是與圖一相同？ 若將 $$2s$$、$$2p_y$$ 的波函數代入混成軌域(式-4)中，可得下式：
$$\begin{multline*}\varphi_{2sp^2(1)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{3}{2}}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-\frac{Zr}{2a_0}}\right]\\+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{5}{2}}re^{-Zr/2a_0}\sin\theta\sin\phi\right] \end{multline*}$$
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (中) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
二、$$2sp^2$$ 軌域波函數的表示法
由量子化學可知，當二個波函數同號相加時會有加成的效果，異號時波函數會相互抵消。因此若欲將 $$2s$$ 和 $$2p_y$$、$$2p_x$$ 軌域組合 $$3$$ 個等價的 $$sp^2$$ 混成軌域，如圖一下圖所列三者疊加的圖形，則必須對這 $$3$$ 個原子軌域做線合性組合(linear combination of atomic orbitals，LCAO)。
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (上) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教材的內容雖未涉及波函數及薛丁格方程式(Schrödinger equation)，但是教授原子軌域及混成(hybridization)軌域時，卻無可避免的必須以示意圖的方式，表達原子軌域的形狀，進而利用各類原子軌域，以相互加成或相減的結果，畫出混成軌域，其間刻意忽略 $$ns$$ 波函數具有正負值的事實。這樣的做法雖然可免去很多煩雜的說明，避開艱澀的公式推導，但是没有正負值的波函數做混成處理時，很難說明為何會得到線形、平面三角形及四面體的混成軌域？