橢圓的參數式
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
圓的參數式
在二上的三角單元教學中，我們曾經學習過利用三角函數將直角坐標系上的點坐標，轉換成極坐標。對每一個直角坐標系統上的點 \(P(x,y)\)，設它與原點的距離 \(\overline{OP}\) 為 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\)（\(\overrightarrow{OP}\) 為終邊）的角度為 \(\theta\)，
因此 \(P\) 點的極坐標表示為 \(P[r,\theta]\)。
既然同一點的坐標有兩種表徵，那麼直角座標與極坐標之間又該如何轉換呢？此時由廣義角的三角函數值定義可知 \(\cos\theta=\frac{x}{r},\sin\theta=\frac{y}{r}\)，因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。
亦即直角座標系統中的 \(x\) 與 \(y\) 坐標，可利用三角函數轉換成以極坐標中的 \(r\) 與 \(\theta\) 來表示。
座標平面上的旋轉變換
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
二階方陣所對應的旋轉變換
將平面上的點 \(P(x,y)\)，以坐標軸原點 \(O\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(\theta\) 角（當 \(\theta<0\) 時可考慮為順時針旋轉），得到點 \(P\) 經旋轉之後的像為 \(P’=(x’,y’)\)，這樣的變換稱為旋轉變換。
我們先以極坐標來表示 \(P\) 點坐標：
在坐標平面上，若 \(P\) 點到原點 \(O\) 的距離為 \(r\)，以 \(x\) 軸正向為始邊，
逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\) 的角度為 \(\alpha\)，那麼點 \(P(x,y)\) 的極坐標為 \(P[r,\alpha]\)，
且 \(x=r\cos \alpha,y=r\sin \alpha\)，
並可得點 \(P\) 經逆時針旋轉 \(\theta\) 角的像 \(P’=(x’,y’)\) 的極坐標為 \(P'[r,\alpha+\theta]\)，
其中 \(x’=r\cos {(\alpha+\theta)},y=r\sin {(\alpha+\theta)}\)。
極坐標 (Polar Coordinate)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
在數學領域中，坐標表示法除了直角坐標(Cartesian Coordinate)外，還有極坐標系統，這種系統是將一個點 \(P\) 與中心點 \(O\) (極點pole)連線成 \(\vec{OP}\)，過 \(O\) 點作一向右水平線(極軸pole axis)，以 \(\vec{OX}\) 為始邊，\(\vec{OP}\) 為終邊之有向角 \(\theta\)，
如圖一所示，令 \(r=\overline{OP}\)，若我們用 \((r,\theta)\) 來代表 \(P\) 的位置時，則稱 \((r,\theta)\) 為 \(P\) 之極坐標，其中稱 \(r\) 為「模」(modulus)，而 \(\theta\) 稱為「幅角」(argument)，當 \(0\le \theta<2\pi\) 時，稱為「主幅角」(principal argument)，另外，有向角的定義方式也與廣義角相同，即逆時針旋轉時為正角，順時針旋轉時為負角。