由問題的起源看導數的定義II
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
在前一篇文章中，我們已經看過費馬求極值的方法了，也就是當 \(e\) 是個很微小的量時（亦即趨近於 \(0\)），讓 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 這個值「盡可能的逼近」\(0\)。
接下來我們來看看牛頓求切線的方法。
牛頓求切線的方法
下面的方法出現在牛頓的《曲線求積術》，撰寫於 1693 年，並於 1704 年作為《光學》一書的附錄正式發表。牛頓以求切線的策略與方法，說明他的「流數方法（即求導數的方法）」，並舉函數為 \(y=x^n\) 為例，實際演練操作他的方法。
由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
前言
在高中的微積分教學脈絡中，一定先教授極限的觀念與函數的極限，然後在進入微分單元時，直接定義何謂導數，即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)，然後再說明導數的意義以及應用。
然而為何導數要這樣定義？我們在定義一個數學物件之前，通常是問題導向的，有需要，才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求？為何會導致這樣的定義形式？在這一系列的文章中，筆者試圖透過這一段數學史的發展，從問題的源頭說起，經由費馬求極值與牛頓求切線的方法，並利用問題來學習與思考，最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。
微分應用在函數圖形的特徵上
臺北市立西松高中蘇惠玉教師
一、前言
99課綱的的數學I教材中，在多項式函數的章節裡，有一單元為單項函數，要求學生認識與繪製 $$f(x)=x^3$$ 或 $$x^4$$ 的函數圖形，然後再利用平移認識 $$f(x) = {(x – h)^3} + k$$（或 $$f(x) = {(x – h)^4} + k$$）的圖形即可。
以現階段學生學得的數學知識而言，確實他們也只能學習到此，但是在某些有關三次方程式的實根問題中，如果學生可以知道一般三次函數的圖形時，配合圖形來討論實根，將可降低題目的難度，以及提升學生對解題過程的理解。以下筆者配合微分的學習，來說明三次函數的圖形。