Dandelin Spheres證明圓錐截痕的焦點性質
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師
目前實施的99課綱高中數學中，弱化了圓錐曲線的單元，所謂的「圓錐截痕」不再是必須教授的單元。各版本課本或數學教師在教授時也僅是簡單的陳述平面與圓錐的截痕何時為圓、橢圓、拋物線或雙曲線，基本上與課本採用的焦點定義方式無法連結，學生只是被動地接受老師所說的與模型所看到的曲線名稱而已。
不過，藉由 Dandelin 球面的想法，我們可將圓錐截痕與焦點的定義方式連結，以一種較為簡潔的形式，證明阿波羅尼斯在《錐線論》中所陳述與證明的性質。
圓錐曲線的定義作圖
臺北市立西松高中蘇惠玉老師
圓錐曲線的定義
拋物線、橢圓、雙曲線等圓錐截痕有各種不同的定義方式，目前高中教材中選擇的是與焦點與固定長有關的定義方式，分別定義如下：
拋物線：
給定一直線 $$L$$ 及線外一點 $$F$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F$$ 點的距離等於到直線 $$L$$ 的距離，即 $$\overline{PF}=d(P,L)$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為拋物線。
橢圓：
給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a>\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離和等於此固定值，即 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為橢圓。
雙曲線：
給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a<\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離差等於此固定值，即 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為雙曲線。
從這樣的定義方式並沒有辦法看出圖形的樣子，在還沒導出標準式之前，也無法藉由描點的方式畫圖。因此，要能夠「接受」這樣的定義方式確實可以畫出所定義的圖形，就必須經由作圖工具的輔助才行。