導數

如何過圖形上一點求切線方程式(2)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(2)）

2014/09/27
在〈如何過圖形上一點求切線方程式(2)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(2)）〉中有 1 則留言

如何過圖形上一點求切線方程式(2)
（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：如何過圖形上一點求切線方程式(1)

接續〈如何過圖形上一點求切線方程式(1)〉最後提出的問題，本文的目的就是介紹微積分如何解決這些難題。首先，我們必須澄清什麼是切線？不能再像過去訴諸圖形直觀，需要對「切線」這個概念賦予明確的定義。我們想要在圖形上一點找到它的切線，因難之處在於我們需要相異兩點才能決定直線，如何能用「切點」定義呢？當然，微積分為我們解決這個困難。

切線的定義

如圖一，設 \(f(x)\) 為一函數，\(P(a,f(a))\) 是 \(y=f(x)\) 圖形上一定點。
在 \(P\) 點附近找圖形上異於 \(P\) 的一點 \(Q(x,f(x))\)，連接 \(P,Q\) 可得一割線 \(PQ\)。
當 \(Q\) 點沿著圖形以 \(Q_1,Q_2,\cdots\) 向 \(P\) 點趨近時，能得到一連串的割線 \(PQ_1,PQ_2,\cdots\)。
若 \(Q_n\) 沿著圖形趨近 \(P\) 時，割線 \(PQ_n\) 的極限直線 \(L\) 存在﹐
則稱直線 \(L\) 為 \(y=f(x)\) 圖形上過 \(P\) 點的切線﹐並稱 \(P\) 為切點。也就是說，

割線 \(PQ\xrightarrow{Q\rightarrow P}\)過 \(P\) 點的切線

58587_p1

圖一

繼續閱讀→

如何過圖形上一點求切線方程式(1)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）

2014/09/27
在〈如何過圖形上一點求切線方程式(1)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）〉中尚無留言

如何過圖形上一點求切線方程式(1)
（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

給定一條曲線圖形(通常可視為函數圖形的一部份)，如何求出過圖形上一點的切線方程式？切線問題有著實際應用的對應。例如，運動物體在任意瞬間的運動方向，就是運動軌跡在那一點的切線方向。或是光學透鏡設計需要求出曲面的法線，而法線與切線垂直；若能求出切線，也就決定法線。

這些都是十七世紀當時科學研究和應用的一部份，這些需求促動微積分技術的發展，經過眾人的改進與演化，補強技術的理論，最終發展出微積分這一門優美又有威力的學問。靜心想想，討論「求切線方程式」問題一直是高中數學的主題之一，其解決方法的流變，頗有顯現此種數學知識積累的過程。因此，本文特意將高中數學中相關題材蒐集討論，以饗讀者。

繼續閱讀→

由問題的起源看導數的定義II

2014/01/29
在〈由問題的起源看導數的定義II〉中尚無留言

由問題的起源看導數的定義II
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

連結：由問題的起源看導數的定義I

在前一篇文章中，我們已經看過費馬求極值的方法了，也就是當 \(e\) 是個很微小的量時（亦即趨近於 \(0\)），讓 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 這個值「盡可能的逼近」\(0\)。

接下來我們來看看牛頓求切線的方法。

牛頓求切線的方法

下面的方法出現在牛頓的《曲線求積術》，撰寫於 1693 年，並於 1704 年作為《光學》一書的附錄正式發表。牛頓以求切線的策略與方法，說明他的「流數方法（即求導數的方法）」，並舉函數為 \(y=x^n\) 為例，實際演練操作他的方法。

繼續閱讀→

由問題的起源看導數的定義I

2014/01/28
在〈由問題的起源看導數的定義I〉中尚無留言

由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

前言

在高中的微積分教學脈絡中，一定先教授極限的觀念與函數的極限，然後在進入微分單元時，直接定義何謂導數，即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)，然後再說明導數的意義以及應用。

然而為何導數要這樣定義？我們在定義一個數學物件之前，通常是問題導向的，有需要，才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求？為何會導致這樣的定義形式？在這一系列的文章中，筆者試圖透過這一段數學史的發展，從問題的源頭說起，經由費馬求極值與牛頓求切線的方法，並利用問題來學習與思考，最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。

繼續閱讀→

微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral）

2011/01/08
在〈微積分初階－歷史發展的眼光（11）微分與積分的定義（First Course in Calculus－A Historical Approach 11. Definitions of Derivative and Integral）〉中尚無留言
這裡分別從極限與無窮小量來定義導數，並且給出積分的定義。許多人無法接受無窮小量的論述法，而喜歡極限的論述法。其實，我們看出這兩種論述法是殊途同歸，而且比較（18）與（19）兩式就知每一步都有互相的對照。在禪宗裡，有「北漸南頓」之分，仿此我們就說：極限的論述法是「漸悟派」，透過極限操作以有涯逐無涯；無窮小量的論述法是「頓悟派」，直接飛躍到無涯彼岸，請出無窮小量，幫忙完成微分。
繼續閱讀→