和算

和算家求橢圓周長的方法（一）
（Wasan’s method of finding the formula of the circumference of an ellipse Ⅰ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

相較於圓周長與而言，橢圓周長是早期數學家們感到棘手的問題。一般而言，我們可以利用定積分法，求得橢圓的面積。

首先，不失一般性，我們可把橢圓的長軸固定在 \(x\) 軸的方向上，
則其標準方程式為：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) （長軸半長為 \(a\)，短軸半長為 \(b\)）。
當我們考慮函數 \(y=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\) 時，可以利用定積分求得橢圓面積為第一象限部份面積的 \(4\) 倍（如圖一所示），即 \(ab\pi\)。特別地，當橢圓的長軸與短軸等長（亦即當 \(2a=2b\)）時，可得圓面積公式 \(\pi a^2\)。

圖一\(~~\)橢圓面積為第一象限部份面積(黃色部份)之四倍

和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法（Determinants in Wasan (5): Laplace Expansion）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(4)：降階展開法

日本和算家對行列式展開的研究，在關孝和之後有了長足的進展。除了前文介紹過的井關知辰外，本文要介紹另一位和算家久留島義太 (Kurushima Yoshihiro, ?-1757)及其提出的行列式展開法，相當於今日所稱的「拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, 法國) 展開法」。

久留島義太屬於天才型的和算家，他對數學的認識並非來自老師的教導，而是從數學書《新篇塵劫記》中自學而來；後來與當時的和算家，特別是關流的和算家進行學術上的交流，豐富其數學研究的主題，並開拓新的研究領域，對後世和算的發展有著深遠的影響。因此，有人將他與關孝和、建部賢弘並稱為三大和算家。據後人的記載，久留島義太生性浪漫，雖然數學造詣很高，但沒有形成自己的門派，也沒有將著作出版，僅以稿本的形式在和算家間傳抄，身後留下《久氏遺書》一部。

和算中的行列式(4)：降階展開法
（Determinants in Wasan (4): The Reductive Algorithm）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）

關孝和提出相當於今日的行列式求法後，吸引不少和算家相繼投入研究，不僅改正了關孝和算法中的錯誤（當行列式是五階以上時，所求得的值是錯的），也提出了新的算法。本文要介紹的，就是相當於今日高中課堂上俗稱的「降階展開法」，也稱為「范德蒙 (Vandermonde, 1735-1796, 法國) 展開法」。

在目前可見的文獻中，最早寫出這個算法的是井關知辰 (Izeki Tomotoki)。井關知辰在1690年所著的《算法發揮》上卷中，用「陽率」來稱呼行列式，而「陰率」則是行列式展開後的結果。例如，「平陽率」、「立陽率」、「三陽率」分別代表二階、三階、四階行列式，「平陰率」、「立陰率」、「三陰率」則代表對應的行列式展開式。井關知辰在書中最高列出了「四陽率」與「四陰率」，也就是五階行列式及其展開式，並寫下如何展開更高階「陽率」的方法。 

和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）（Determinants in Wasan (3): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 2）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）

〈和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）〉介紹了關孝和如何從解多元高次方程組中，發展出類似今日行列式的概念。然而，即便是今日，多元高次方程組求解仍是一件困難的工作。所以，關孝和能處理多元高次方程組，更顯得他在數學上的造詣深厚。以下透過幾個簡單的實例，讓讀者更熟悉關孝和的方法，也指出這個方法也有無能為力的時候。

例1：解 $$\left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1\\ {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2} = 5\\ {(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} = 13 \end{array} \right.$$。

【關孝和的方法】：

方程組可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 2y + 1) – 2x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4y + 3) – 4x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 6y + 5) – 6x + {x^2} = 0 \end{array} \right.$$，

利用係數所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 2y + 1}&{ – 2}&1\\ {{y^2} – 4y + 3}&{ – 4}&1\\ {{y^2} – 6y + 5}&{ – 6}&1 \end{array}} \right| = 0$$，

但左式展開後各項均消去，得到 $$0=0$$ 的恆等式，而非 $$y$$ 的方程式，因此無從求 $$y$$ 之值。

和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）
（Determinants in Wasan (2): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 1）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(1)：創立者關孝和

關孝和《解伏題之法》(1683年)的主要內容是解多元高次方程組。他提出了六個步驟：真虛、兩式、定乘、換式、生剋、寄消。其中的第五個步驟「生剋」，就相當於今日將行列式展開的過程，其「生」（以紅色表示）、「剋」（以黑色表示）就是在決定展開後每一項的正、負號。以今日的術語來說，關孝和在書中提出相當於將二至五階行列式展開的方法，並寫下二至四階的行列式展開式。

以二階行列式為例，關孝和呈現的方式如下表一，

然後說乙丙相乘是「生」，丁甲相乘是「剋」，

用今日符號表示的話，就是 

關孝和還用下圖一來表示這規則。

和算中的行列式(1)：創立者關孝和
（Determinants in Wasan (1): Seki Takakazu, the originator）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

日本江戶時代 (1603-1867，即德川幕府時代) 的數學家在吸納了來自中國的數學知識後，獨立發展出許多新理論及新算法，後人就將這時期的數學稱為「和算」，這時期的數學家就稱為「和算家」。在這些和算家中，最突出也最具代表性的一位，就是關孝和。他不但被後世稱為「算聖」，更是世界上最早提出行列式的人之一。

我們對關孝和的生平所知不多，就連他是不是在1642年出生的，現在仍有爭議；不過，1708年離開人世，這殆無疑問。關孝和本姓內山，過繼給一位關姓武士後才改姓。關孝和是甲府宰相德川綱重及其子德川綱豐的家臣，擔任「勘定吟味役」的職位，相當於會計總管的職務。在德川綱豐成為德川將軍的養子後，關孝和也就成為幕府直屬的武士，官至「御納戶組頭」，負責幕府的用具。總而言之，關孝和在官途上並沒有什麼特別之處，就是以家臣的身份，為領主奉獻心力。

相較於平凡的仕途，關孝和在數學上的成果就更顯得非凡燦爛了。