橢圓的參數式
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
圓的參數式
在二上的三角單元教學中，我們曾經學習過利用三角函數將直角坐標系上的點坐標，轉換成極坐標。對每一個直角坐標系統上的點 \(P(x,y)\)，設它與原點的距離 \(\overline{OP}\) 為 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\)（\(\overrightarrow{OP}\) 為終邊）的角度為 \(\theta\)，
因此 \(P\) 點的極坐標表示為 \(P[r,\theta]\)。
既然同一點的坐標有兩種表徵，那麼直角座標與極坐標之間又該如何轉換呢？此時由廣義角的三角函數值定義可知 \(\cos\theta=\frac{x}{r},\sin\theta=\frac{y}{r}\)，因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。
亦即直角座標系統中的 \(x\) 與 \(y\) 坐標，可利用三角函數轉換成以極坐標中的 \(r\) 與 \(\theta\) 來表示。
二階方陣的分解(The Decomposition of 2-by-2 matrices)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
誠如〈平面上的線性變換〉一文所言，平面上的線性變換都會對應到唯一的二階方陣。因此，透過二階方陣分解成基本矩陣的乘積，我們就能了解這個方陣所對應的線性變換是由那些基本變換所合成，這也是本文最主要的內容。
想要將一個方陣進行分解，我們得從矩陣的列運算談起，矩陣的列運算有下面三種：
事實上，對矩陣 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]$$ 進行列運算的結果，等價於將矩陣 $$M$$ 乘上某些特殊矩陣
平面上基本的線性變換：旋轉、鏡射、伸縮、推移 (Linear Transformations on the Plane: Rotation, Reflection, Scaling, Shear)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師
平面上的線性變換，最基本的是下列的四種：旋轉、鏡射、伸縮、推移。本文將介紹這四種線性變換，及其所對應表示的矩陣。首先，由旋轉變換看起。
如圖一，坐標平面上，\(\overline{OP}=r\)，且點 \(P(x,y)\) 滿足 \(x=r\cos\alpha,~y=r\sin\alpha\)。
那麼，以原點 \(O\) 為中心，將點依逆時針方向旋轉 \(\theta\) 角後得點 \(P'(x’,y’)\)。
那麼 \( \begin{cases} x’=r\cos(\alpha+\theta) \\ y’=r\sin(\alpha+\theta) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x’=r(\cos \alpha \cos \theta – \sin \alpha \sin \theta) =x\cos \theta-y \sin\theta\\ y’=r(\sin \alpha\cos \theta+\cos \alpha\sin \theta)=y\cos\theta+x\sin\theta \end{cases}\)
若以矩陣表示，\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\) 。
因此，以原點 \(O\) 為中心逆時針方向旋轉 \(\theta\) 角的線性變換之表示矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\) ，
並且將 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\) 稱為旋轉矩陣。
例如，將點 \(A(2,-4)\) 以 \(O\) 為中心逆時針旋轉 60o，
則 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {{60}^ \circ }}&{ – \sin {{60}^ \circ }}\\ {\sin {{60}^ \circ }}&{\cos {{60}^ \circ }} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { – 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { – 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 2\sqrt 3 }\\ { – 2 + \sqrt 3 } \end{array}} \right]\) ，
因此，對應點 \(A’\) 的坐標為 \((1+2\sqrt{3},-2+\sqrt{3})\)。