平面族

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(3)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)

接著我們來看些可用「平面族」解決的問題吧！事實上，空間中的直線方程式可表成兩面式，因此，在求與直線條件有關的平面方程式問題上，「平面族」常有意想不到的妙用。
看看下面的例子：

求包含$$x$$軸，且過點$$A(1,-1,2)$$的平面方程式。

(解法一)
在$$x$$軸上取一點$$B(1,0,0)$$，且$$x$$軸的方向向量為$$\vec{v}=(1,0,0)$$，

由於所求平面包含$$x$$軸，並過$$A(1,-1,2)$$，

平面的法向量$$\vec{n}~//~\vec{v}\times\vec{AB}=(1,0,0)\times(0,1,-2)=(0,2,1)$$，故取$$\vec{n}=(0,2,1)$$

因此，平面方程式為 $$2y+z=0$$

(解法二)
由於$$x$$軸的直線方程式可寫成$$\begin{cases} y=0\\ z=0\end{cases}$$  (兩面式)，

根據平面族定理，包含$$x$$軸的任意平面可以寫成$$y+kz=0$$，

將$$(1,-1,2)$$代入，得 $$k=\frac{1}{2}$$

所以，平面方程式為 $$y+\frac{1}{2}z=0\Rightarrow 2y+z=0$$

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(2)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

連結：用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)

接著，我們就來證明「過兩已知平面交線的任意平面可以寫成這兩個平面的線性組合」會成立：

【証明】整個定理的証明可分為三部份：

1. 上面的方程式(*)一定是表示平面方程式；
2. 方程式(*)一定會通過$$E_1$$與$$E_2$$的交線$$L$$；
3. 証明任何通過$$L$$的平面均可寫成方程式(*)的形式。

用向量來看平面族(Use Vectors to Understand Family of Planes)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在空間中平面與直線的章節時，常會遇到這樣的問題：

求過二平面\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)的交線，且過點\(Q(2,-1,-1)\)的平面方程式。

基本上，這類問題的解法常是先找到兩個平面交線的方向向量及交線上的一點坐標，就能變成「求包含已知一線及線外一點的平面方程式」的基本問題類型。解法如下：

兩平面交線\(L\)的方向向量\(\vec{v}\)同時垂直兩平面的法向量，
故\(\vec{v}~//~(2,1,0)\times(0,1,2)=(2,-4,2)=2(1,-2,1)\)，可取\(\vec{v}=(1,-2,1)\)。
接著，在交線\(L\)取一點\(P\)，需同時滿足\(2x+y-4=0\)與\(y+2z=0\)，
故取\(z=0,~y=0,~x=2,~\therefore P(2,0,0)\)， 
所求平面包含直線\(L\)與點\(Q(2,-1,-1)\)，
因此，法向量\(\vec{n}~//~\vec{v_L}\times\vec{PQ}=(1,-2,1)\times(0,1,1)=(-3,-1,1)\)，
取\(\vec{n}=(3,1,-1)\)，故所求平面方程式為 \(3x+y-z-6=0\)