畢氏音律

輾轉相除法(II) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(I)

一、畢氏音律與輾轉相減法

西元前五百多年，畢達哥拉斯(Pythagoras of Samos, c. 570 BC – c. 495 BC)(如右圖)為了探求音律，利用單弦琴(monochord)作實驗，發現兩個音的弦長為簡單整數比時，是和諧悅耳的。例如：$$2:1$$，$$3:2$$，$$4:3$$，$$5:4$$ 分別是八度、五度、四度及三度音程。這些弦長的比是如何求得的呢？若是分成 $$3:2$$，則會產生悅耳的和弦音樂，因此，不同的弦長比例會導致不同的音高，若是比例不正確，則會形成不和諧的和弦聲。

原來畢達哥拉斯是利用逐步相減法(the successive subtraction)求得的：考慮 $$a$$、$$b$$ 兩弦，不妨設 $$a>b$$，從 $$a$$ 減去較小的 $$b$$，得 $$a-b$$；若 $$a-b$$ 仍大於 $$b$$，再減去 $$b$$ 得 $$a-2b$$；…，直到 $$a-tb\le b$$，其中 $$t\in\mathbb{N}$$。繼續從較大的 $$b$$ 減去較小的 $$a-tb$$，…，直到 $$b-l(a-tb)\le a-tb$$，其中$$l\in\mathbb{N}$$。按此要領反覆做下去，經過有限步的輾轉相減後，必可得到 $$0$$，此時運算停止。在 $$0$$ 之前最後一個不為 $$0$$ 的數 $$d$$，即最大公因數 $$d$$。

畢達哥拉斯相信，任意給定兩正整數 $$a$$、$$b$$，必可利用有限次的逐步相減運算，找到最後一個不為 $$0$$ 的正整數 $$d$$，所以，存在正整數 $$p$$、$$q$$，使得 $$a=pd~, b=qd$$，而 $$d$$ 為滿足此式的最大弦長，從而得到 $$a:b =p:q$$ 為整數比，我們稱這種演算法稱為輾轉相減法。