大數法則

機率空間（2）機率的意義（Probability space-2. The meanings of probability）

2011/09/27
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機率空間（2）機率的意義（Probability space-2. The meanings of probability）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：機率空間（1）機率論的誕生

摘要：本篇從一個生雙胞胎的機率問題出發，說明機率一詞的三種不同解釋：古典機率、頻度機率、主觀機率，並提出許多例子，來釐清這些觀點。

著名的法國數學家及天文學家，有法國牛頓之稱的拉普拉斯(Pierre Simon, Marquis de Laplace, 1749-1827)曾說『大部分生活中最重要的疑問，都只是機率的問題』。的確，處在此一隨機世界，隨機現象(random phenomenon)處處可見。很多觀測事先並不能預知結果，因此事件的成立與否(或說發生與否，正確與否)，往往並非只有是、否兩種選擇。還可以是“有可能是”(當然也就“有可能否”)。

而隨著科技日漸發達，對精確度的要求也隨之提高，不能只含混地說“有可能”，而要更明確地表示其可能性之大小。今日機率一詞可說到處出現，人們常想知道某事件發生的機率。雖人人對機率朗朗上口，但一般人是否真了解機率的意思呢？

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大數法則（4）弱大數法則（Weak law of large numbers）

2011/09/23
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大數法則（4）弱大數法則（Law of large numbers-4. Weak law of large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（3）巨數法則

摘要：本文從「伯努力試驗(Bernoulli trial)」談起，說明「大數法則」的主要內涵，進而介紹「弱大數法則(weak law of large numbers)」，並釐清常見的誤解。

大數法則又稱大數率或平均法則(law of averages)。由於有大數法則，使得在不確定性(uncertainty)中，我們仍能掌握一些確定性(certainty)；在混亂(chaos)中，仍有其秩序(order)。大數法則是說：若一實驗（或觀測），能持續且重複地進行，則觀測值之平均，將任意接近期望的成果。比較正式一點的說，就是隨機所產生樣本之平均，當樣品數很大，將有很大的機率，接近母體之平均。

機率論早期的發展，常對某件事是否發生有興趣。如：投擲銅板是否出現正面？玩撲克牌得到 \(3\) 條等。換句話說，對只有兩個結果的觀測有興趣。以 \(X_i=1\)，表第 \(i\) 次觀測該事件發生，\(X_i=0\)，表第 \(i\) 次觀測該事件未發生。如此觀測到一串 \(0,1\) 的數列。

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大數法則（3）巨數法則（Law of truly large numbers）

2011/09/22
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大數法則（3）巨數法則（Law of large numbers-3. Law of truly large numbers）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（2）極限的定義

摘要：本文舉例說明何謂「巨數法則(law of truly large numbers)」，並強調其與「大數法則」之不同。

巨數法則，雖然英文名為 law of truly large numbers，但其實與 law of large numbers 並不太相干。在一般正規的機率論書籍中，不會提到此法則。它主要是出現在通俗性的文章中，有時也被稱為 law of large numbers。我們實在不願稱它為『真大數法則』，只好含混地稱它為巨數法則。在 Diaconis and Mosteller (1989) 一文中，對此法則給出如下定義：

With a large enough sample, any outrageous thing is likely to happen.
(當樣本數夠大，任何聳人聽聞的事，都可能發生)。

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大數法則（1）數大便是美（Everything becomes beautiful when amount is plenty）

2011/09/19
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大數法則（1）數大便是美（Law of large numbers-1. Everything becomes beautiful when amount is plenty）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

摘要：這是一系列關於「大數法則(law of large numbers)」文章的第一篇，這裡引用徐志摩「數大便是美」一文，說明自然界的隨機現象其實遵循著某些規律、法則。

徐志摩的散文，很多人中學時代都讀過，膾炙人口的作品實在不少。他的有些句子後來常被引用，〝數大便是美〞是其中之一。

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初等的機率論（10）推理統計學簡介（Brief Introduction to Statistical Inference）

2011/08/13
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初等的機率論（10）推理統計學簡介
（Elementary Probability Theory-10. BriefIntroduction to Statistical Inference）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？

摘要：這是一系列「初等的機率論」文章中的最後一篇，在對機率有了充足的概念後，這裡舉例說明機率法則的實際應用，強調「推理統計學」是以「機率論」為基礎。

機率論最早的應用是賭局，而賭局也是機率論的發源地。隨著機率論的發展，它的應用也越來越寬廣，最先是數理統計學，再來是統計力學、量子力學，以及社會科學、醫學、經濟學。只要是涉及重複的、大量的觀測數據，都會受到機率論與統計學的管轄。

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初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？（What are Probability and Law of chance？）

2011/08/12
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初等的機率論（9）什麼是機率與機率法則？
（Elementary Probability Theory-9. What are Probability and Law of chance？）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（8）隨機變數及其種種性質

摘要：本文以丟銅板問題，逐步探討機率論中幾個重要的法則：「大數法則（law of large numbers）」、「Poisson小數法則（Poisson’s law of small numbers）」、及「中央極限定理（central limit theorem）」。

機率論的兩個核心問題就是要問：

什麼是一個事件的機率（probability）？
什麼是機率法則（the laws of chance）？（甚至是，有沒有機率法則？）

要探索這些問題，我們要遵循德國偉大數學家D. Hilbert (1862-1943) 所說的一句名言：

這是機率論的美妙與幸運，也許是機運女神泰姬（Tyche）特別眷顧機率論吧。

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點數問題與機率論的源起

2011/04/26
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點數問題與機率論的源起 (Problem of Points and the origin of probability theory)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

1654年，法國貴族迪默勒 (Chevalier de Méré) 向數學家巴斯卡提出一個賭金分配問題。那就是在一場未完成的賭局中，如何分配賭金呢？這些「賭金」來自賭徒在一開始所下注的。根據慣例，只要一下注，直到遊戲結束前，這些賭金是不屬於任何人的，結束時，只有贏家能擁有全部賭金。

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統計：從政治算術到一門科學（Statistics: from political arithmetic to a science）

2011/04/26
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統計：從政治算術到一門科學（Statistics: from political arithmetic to a science）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/ 國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

「統計」是一個多義的名詞，而且，常常在面對質疑的意見時，被用來保證其可信度。我們有時使用它來談論資料，特別是指數值資料 － 例如，「$$93\%$$ 的統計數值是編造的」。當在這些意義下使用時，統計（statistics）是個複數名詞：數據的每一小部分都是一個統計量（statistic）。當統計（statistics）作為單數名詞使用時，它所指涉的，是一門產生及分析這些數據的科學。這門科學有著悠久的歷史根源，但卻是在二十世紀初期才發展興盛起來。 

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