三角函數

從托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theorem to Angle sum and difference identities)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在高中課程的三角函數單元提及了許多三角公式，像和(差)角公式、倍角公式及半角公式。事實上，這些三角公式(主要是正弦和餘弦函數)都是托勒密（C. Ptolemy, c. 100-178 C.E.）在發展弦表的過程中，提出的一系列命題(有興趣的讀者可參見《The Almagest》一書)。

從課程的安排上，不難發現和角與差角公式處於非常基礎的地位，這個現象在托勒密提出的脈絡中也是相符。然而，托勒密如何發現和角公式？若要讀者好奇地往前追溯，將會驚奇地發現和角公式和托勒密定理有著密切的關係。因此，從托勒密定理出發，也是介紹和角公式一個很好的切入點。

正弦定律 (The Sine Law)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在現行高中課程中，對於正弦定律的推導常是透過三角形面積公式為媒介：

如圖一，給定三角形 \(\Delta ABC\) ，則三角形 \(\Delta ABC\) 的面積為

\(\displaystyle\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A\)

因此，\(\displaystyle\frac{{\sin C}}{c} = \frac{{\sin B}}{b} = \frac{{\sin A}}{a} \Rightarrow \frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

三角函數的疊合 (Simplifying  \(\sin x+\cos x\))
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編

摘要：在學會正弦、餘弦的基本函數圖形及其平移伸縮後，很自然會想知道正弦與餘弦組合（\(y = A\sin x + B \cos x\) ）圖形的樣貌，即「三角函數的疊合」。疊合有非常多有趣的切入點，本文簡單點出幾個不同的想法。

正規課本內容

不論任何版本的課本，第一個例子幾乎都是 \(y=\sin x +\cos x\) ，想辦法將 \(y=\sin x +\cos x\) 湊成和角公式，技巧是提出以 \(A\)、\(B\) 為兩股的斜邊，即 \(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\) ，就能夠將 \(y=\sin x+\cos x\) 化簡成單一三角函數：

\(\begin{array}{ll} y &=\displaystyle \sin x+\cos x \\&=\displaystyle\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4})\\&=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})~~~~~~~~~(1)\end{array}\)