切線

如何過圖形上一點求切線方程式(2)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(2)）

2014/09/27
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如何過圖形上一點求切線方程式(2)
（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：如何過圖形上一點求切線方程式(1)

接續〈如何過圖形上一點求切線方程式(1)〉最後提出的問題，本文的目的就是介紹微積分如何解決這些難題。首先，我們必須澄清什麼是切線？不能再像過去訴諸圖形直觀，需要對「切線」這個概念賦予明確的定義。我們想要在圖形上一點找到它的切線，因難之處在於我們需要相異兩點才能決定直線，如何能用「切點」定義呢？當然，微積分為我們解決這個困難。

切線的定義

如圖一，設 \(f(x)\) 為一函數，\(P(a,f(a))\) 是 \(y=f(x)\) 圖形上一定點。
在 \(P\) 點附近找圖形上異於 \(P\) 的一點 \(Q(x,f(x))\)，連接 \(P,Q\) 可得一割線 \(PQ\)。
當 \(Q\) 點沿著圖形以 \(Q_1,Q_2,\cdots\) 向 \(P\) 點趨近時，能得到一連串的割線 \(PQ_1,PQ_2,\cdots\)。
若 \(Q_n\) 沿著圖形趨近 \(P\) 時，割線 \(PQ_n\) 的極限直線 \(L\) 存在﹐
則稱直線 \(L\) 為 \(y=f(x)\) 圖形上過 \(P\) 點的切線﹐並稱 \(P\) 為切點。也就是說，

割線 \(PQ\xrightarrow{Q\rightarrow P}\)過 \(P\) 點的切線

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圖一

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如何過圖形上一點求切線方程式(1)（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）

2014/09/27
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如何過圖形上一點求切線方程式(1)
（Finding an equation of the tangent line to the curve at the given point(1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

給定一條曲線圖形(通常可視為函數圖形的一部份)，如何求出過圖形上一點的切線方程式？切線問題有著實際應用的對應。例如，運動物體在任意瞬間的運動方向，就是運動軌跡在那一點的切線方向。或是光學透鏡設計需要求出曲面的法線，而法線與切線垂直；若能求出切線，也就決定法線。

這些都是十七世紀當時科學研究和應用的一部份，這些需求促動微積分技術的發展，經過眾人的改進與演化，補強技術的理論，最終發展出微積分這一門優美又有威力的學問。靜心想想，討論「求切線方程式」問題一直是高中數學的主題之一，其解決方法的流變，頗有顯現此種數學知識積累的過程。因此，本文特意將高中數學中相關題材蒐集討論，以饗讀者。

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由問題的起源看導數的定義II

2014/01/29
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由問題的起源看導數的定義II
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

連結：由問題的起源看導數的定義I

在前一篇文章中，我們已經看過費馬求極值的方法了，也就是當 \(e\) 是個很微小的量時（亦即趨近於 \(0\)），讓 \(\frac{f(a+e)-f(a)}{e}\) 這個值「盡可能的逼近」\(0\)。

接下來我們來看看牛頓求切線的方法。

牛頓求切線的方法

下面的方法出現在牛頓的《曲線求積術》，撰寫於 1693 年，並於 1704 年作為《光學》一書的附錄正式發表。牛頓以求切線的策略與方法，說明他的「流數方法（即求導數的方法）」，並舉函數為 \(y=x^n\) 為例，實際演練操作他的方法。

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由問題的起源看導數的定義I

2014/01/28
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由問題的起源看導數的定義I
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

前言

在高中的微積分教學脈絡中，一定先教授極限的觀念與函數的極限，然後在進入微分單元時，直接定義何謂導數，即多項式函數 \(f(x)\) 在點 \((a,f(a))\) 的導數為 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)，然後再說明導數的意義以及應用。

然而為何導數要這樣定義？我們在定義一個數學物件之前，通常是問題導向的，有需要，才有發明。那麼導數或是微積分來自於什麼需求？為何會導致這樣的定義形式？在這一系列的文章中，筆者試圖透過這一段數學史的發展，從問題的源頭說起，經由費馬求極值與牛頓求切線的方法，並利用問題來學習與思考，最後理解何以會以 \(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) 這種形式來定義導數的必然性。

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微積分初階－歷史發展的眼光（2）促動微積分誕生的四類問題（First Course in Calculus－A Historical Approach 2.Four kinds of problems in Calculus

2011/01/17
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微積分的誕生具有長遠的歷史發展過程，本文提及促成微積分誕生的四類問題：「求積問題」、「求切線問題」、「求極值問題」以及「研究物體的運動問題」。此四類問題可歸結為求積與求切線兩大問題，前者發展出「積分學」，後者則發展出「微分學」。問題是數學探索與思考的出發點。數學之發源於問題，就好像人類古文明之發源於大河旁一般，非常自然。提出問題，再尋求問題的解答（The art of problem posing and problem solving）乃是啟開智慧與思想的最佳法門。更確切地說，數學是人類在長期探索自然的過程中，不時地叩問自然乃至逼問自然，所創造發展出來的產物。 到底是哪些問題促成了微積分的誕生呢？微積分起源於要解決下面四類古老而實用的問題，人們才創造出解決問題的概念與方法，經過長久的改進與演化，終於發展出一門深刻而漂亮的有系統學問。
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