[物理史] 佩雷爾曼（Grigori Perelman）將龐加萊猜想的証明貼到 arXiv 網站

Posted on 2020/11/01 in 物理, 物理學發展史, 物理學發展史 with 尚無留言 3,731 views

佩雷爾曼（Grigori Perelman）將龐加萊猜想的証明貼到 arXiv 網站
國立臺灣大學物理學系楊信男教授、蕭如珀
（譯自APS News，2013年11月）

2000 年，克雷數學研究所（the Clay Mathematics Institute）宣布，它要懸賞 100 萬美元，給凡是正確解答出任一所謂千禧年大獎名題（Millennium Prize Problems）的七大未解數學難題的人。七個難題中至今只有一題被解答出來，即是所謂的龐加萊猜想（Poincaré Conjecture），當時被認為是拓撲學（Topology）中最重要、尚未解決的問題之一。

這個猜想是龐加萊（Jules Henri Poincaré）獨創的概念。龐加萊 1854 年 4 月出生，父親是法國南錫大學（University of Nancy）的醫學教授。他童年時得了傳染性強的白喉，所以早期都由母親在家教導學習，但 1862 年他上公立學校時，即是一個出眾的學生，除了音樂和體育外其他的學科都很突出，有一位教師形容他是一位「數學巨獸」。畢業後，他和父親都在普法戰爭期間服役於傷患救護中心。

1873 年，龐加萊開始於巴黎綜合理工學院（École Polytechnique）研習數學，之後於 1879 年在法國國立高等礦業學院（École des Mines）攻得工程學位。他一面在法國礦業團當督察員，一面在巴黎大學完成數學博士學位。龐加萊 1879 年完成畢業論文，提出了研究微分方程性質的新方法。他先在坎城大學（University of Caen）教課，後來於 1881 年在巴黎大學任職，那時他已贏得了歐洲最偉大數學家之一的聲譽。

1887 年，當時年僅 32 歲的龐加萊即被選入法國科學院，同年他還贏得了瑞典國王所舉辦，為了解決多個軌道運行星體自由運動間的三體問題的競試。那研究為現代的混沌理論奠下了基礎。龐加萊對數學的許多其他貢獻後來證明對建立拓撲學領域，以及狹義相對論極具關鍵性。

20 世紀初，龐加萊將研究重心轉移至球體拓撲性質的測定。拓撲學論及那些在拉長、壓縮或扭曲下都不會改變的幾何形狀的性質，例如空間中的封閉曲線有結否，或是否有邊界。龐加萊對球體深感興趣，二維球體，或在拓撲學上來說，三維球體的二維表面，具有大家所知的簡單連通性，因此任何一個已知的二維封閉表面，不論它如何扭曲，在拓撲學上都是等同的。

龐加萊著名的猜想概述於他 1904 年的一篇論文中，簡單說明上述二維球體的拓撲性質在三維球體，或更確切地說，在四維球體的三維表面，也適用。它通常如此被陳述：「任一簡單連通的、封閉的三維流形均與三維球面同胚（homeomorphic）。」做這樣的陳述是很容易，但要設計一個嚴謹的數學證明就困難多了。

龐加萊 1912 年因前列腺手術後併發症而過世，他的猜想有將近 100 年都無人能解答。第一位宣稱找到了證明的是在 1930 年代的數學家懷特赫德（J. H. C. Whitehead），但他後來撤回聲明；1950 和 1960 年代又有其他人宣稱，但它們也都很快被發現有瑕疵而撤回。

有許多數學家對最終的解答做出了一些貢獻，美國普林斯頓大學（Princeton University）的瑟斯頓（William Thurston）指出研究的方向應在於探究球體不管維度大小，都有固定曲率的事實；他的同行，康乃爾大學（Cornell University）的哈密頓（Richard Hamilton）以此作為基礎，利用瑞奇流（Ricci flow）的技巧，以類似熱流的方式來處理型態的變換。就像熱流會使不規則的溫度分佈變得均勻，瑞奇流可以均勻化類球體狀型態的不規則。很不幸地，由於奇異點的可能產生，這種過程無法一直繼續，需要拓撲學家在產生問題的部分去執行一種「手術」的動作，將其切除後移植其他形體過來置於其上。

然而，甚至哈密頓也無法確定是否所有可能的奇異性都能修復。最後的謎底是由一位孤寂的俄羅斯數學家佩雷爾曼（Grigori Perelman）所提出的，他於 2002 年 11 月先投稿一篇短論文至 arXiv（網路論文檔案庫），接著又發表了兩篇。他說明的確可能修復所有這些的奇異性，對龐加萊猜想提出第一個嚴謹的証明。他的論文在數學界引起了大轟動，專家們組隊密集檢視此研究。密西根大學的數學家拉德（John Lot）承認說：「檢視佩雷爾曼的研究花了我們好些時間，有一部份是因為佩雷爾曼研究的原創性，另一部分是由於他論點的技巧精密性，所有的跡象都說明他的論點是正確的。」

2006 年，消息傳來說，佩雷爾曼已因「他對幾何的貢獻，與他對瑞奇流分析及幾何結構革命性的洞悉力」，獲得了極富聲望的菲爾茲獎（Fields Medal），這是數學界最高的榮譽。然而，他的行徑總是異於常人，這位越來越孤獨的學者拒絕了此獎項，還說：「大家都了解，假若論點是對的話，那就不需其他的認可了。」這並非他第一次拒絕受獎，之前他也因認為評審委員沒資格評估他的研究，而拒絕了歐洲數學學會所頒發的獎項。

4 年後，克雷數學研究所宣布，佩雷爾曼的確是第一個解答了千禧七名題其中之一，獲頒獎金 100 萬美元。佩雷爾曼還是一樣拒絕接受，堅持哈密頓對那難題已做了相當的貢獻，並補充說：「我想要的全得到了。」佩雷爾曼對此領域越來越疏離，隨後完全脫離數學，離開斯捷克洛夫數學研究所（Steklov Institute）的職位，目前據說和母親居住在俄羅斯聖彼得堡。然而，他對龐加萊猜想的研究證明還是傲居為數學的世紀突破。