微積分

面對求積這個難題，在阿基米德之後，一直等到文藝復興時代的數學家才有更進一步的發展。本篇呈現費瑪巧妙的求積方法－「動態窮盡法」。

求極值的方法眾多，這裡將呈現費瑪獨特的求極值法—「擬似相等法」，此法引出了「無窮小量」，這當中已經含有微分學的概念。

求積問題與求極值問題的探索，讓費瑪悄悄來到微積分的大門口，但欠缺臨門一腳。牛頓從費瑪的求極值法中，悟出了微分法的概念，才真正開啟了這扇大門。

本篇藉由位置函數與速度函數的實例，說明牛頓如何揭開微積分之謎，從而獲知微積分根本定理。運動現象的研究是牛頓關切的核心問題，從而揭開微積分之謎。下面我們就利用高速公路上的車子之運動來解說這一切。 台灣的高速公路從基隆到高雄、屏東，是歪七扭八的，但是我們可以想像把它拉直（作個想像的實驗！）得到一條直線。再將直線上每一點都賦予一個笛卡兒坐標，使得兩點的坐標差就代長了高速公路上相應兩個地點之間的里程（距離）。這是真實的高速公路的抽象化、理想化或模型。 【註】此地坐標原點並不重要，可以任意選定，直正重要的是兩點的坐標之差。 好了，現在想像車子為一個質點（這又是一種理想化）在此直線上運動。車上有兩個儀器：一個是速度表（speedometer），其實是速率表；另一個是里程表（odometer）。...

牛頓與萊布尼茲分別獨立發明微積分，前篇已說明牛頓如何從運動學切入微積分，這裡將介紹萊布尼茲如何由差和分的連續化、無窮化得到微積分。

本篇說明如何計算數列與函數的極限、使用無窮小量，並定義何謂連續函數。無窮小量雖然好用，但是其邏輯基礎比極限更深奧，所以傳統的微積分教科書都選擇建立在極限概念上面。 牛頓與萊布尼茲約在1680年發明微積分，經過200年，極限的嚴格定義與實數系mathbb{R}的建構才完成（約在1880年左右），從此微積分的基礎奠定，其間大家都採用直觀的「無窮小量的論述法」或「極限的論述法」來講述微積分。 無窮小量的邏輯基礎一直要等到1960年代才完成。其後有人嘗試用「無窮小量的論述法」寫微積分教科書，但是都沒能流行。

這裡分別從極限與無窮小量來定義導數，並且給出積分的定義。許多人無法接受無窮小量的論述法，而喜歡極限的論述法。其實，我們看出這兩種論述法是殊途同歸，而且比較（18）與（19）兩式就知每一步都有互相的對照。在禪宗裡，有「北漸南頓」之分，仿此我們就說：極限的論述法是「漸悟派」，透過極限操作以有涯逐無涯；無窮小量的論述法是「頓悟派」，直接飛躍到無涯彼岸，請出無窮小量，幫忙完成微分。

完整陳述微積分根本定理，並以正弦、餘弦函數為例說明之。微積分最重要且最核心的「微積分學根本定理」。求切線與求面積兩者表面上很不同，實則關係密切。 【定理7】（微積分學根本定理, the Fundamental Theorem of Calculus, FTC）....

本篇為這一系列的文章做一總結，以「一法二念二義一理」為主軸概括初階微積分，在此基礎上，逐步窺探微積分之美。