機率統計

初等的機率論（7）獨立事件的概念
（Elementary Probability Theory -7. The Concept of Independent Events）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（6）條件機率與Bayes公式

摘要：本篇從兩個事件「獨立」的概念談起，給出兩個事件及 $$n$$ 個事件獨立的定義，並與排列組合的「乘法原理」連結。最後以兩個反例說明三個事件獨立所需滿足的條件。

機率空間是測度空間的特例，因此有人說機率論是測度論一章。不過，機率論卻有獨特的獨立性（independence）概念，它扮演著關鍵性的角色，從而得到豐富而美麗的機率結果，這使得機率論有別於測度論。

獨立性是機率論的核心概念，探索機率法則（laws of chance）時，我們經常會遇到如下的狀況：將一個銅板獨立地丟 $$n$$ 次，或一個隨機實驗獨立地作 $$n$$ 次。機率法則包括大數法則、Poisson小數法則與中央極限定理，這些都是機率論的重要結果。

初等的機率論（4）機率論的甕模型
（Elementary Probability Theory-4. Urn Model for Probability Theory）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（3）兩個重要的不等式

摘要：本文從「機率論是虛，記述統計是實」的論點出發，以實例引導我們從「記述統計」進入「機率論」的世界。

現在我們先把主題點出來：機率論和記述統計，幾乎完全一樣！只是一虛一實而已。機率論是虛，記述統計是實。

為了說明這一點，我們就想像這種情形：我把去年學生的成績做了完整的記錄，將每一位學生都想像為一個球 $$\omega_k$$，並且寫上該生的分數 $$x_k$$，全部裝到一個甕（urn）$$\Omega$$ 之中，於是有 $$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_N\}$$，這叫做樣本空間（sample space）。

初等的機率論（2）代表值與參差度
（Elementary Probability Theory-2. Various Means and Dispersion）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

連結：初等的機率論（1）母群體與統計變量

摘要：延續上篇的討論，本篇針對「記述統計學」面臨的兩個基本問題，介紹了代表整體數據的「算術平均（arithmetic mean）」、以及衡量代表值好壞的「變異數（variance）」或「標準差（standard deviation）」。

記述統計學最初的問題，可以很具體地來說明。如果校長問我：「他們這次期中考的成績怎麼樣？」，我該怎麼報告？給他整堆數據 $$\{x_1,x_2,\dots,x_N\}$$ 是無用的。

對於學生的家長我要答以他子女的成績就好了。對於校長，個別學生的成績他沒興趣聽，他要知道的是全班的概況，例如最重要卻也是最起碼的兩件事：

初等的機率論（1）母群體與統計變量
（Elementary Probability Theory-1. Population and Statistical variable）
國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授/國立臺灣大學數學系蔡聰明副教授責任編輯

摘要：這一系列「初等的機率論」文章共有十篇，本文是第一篇，先從「記述統計學（Descriptive Statistics）」的角度出發，介紹母群體與統計變量的關係。

世界上到處都可以見到隨機現象（random phenomena），所謂隨機現象是指事先說不準會發生什麼結果（outcome）的現象。機率論（Probability theory）就是要定量地來研究隨機現象的一門數學。機率論最早發源於賭局（game of chance），賭徒想要知道輸贏的機率，以及有無必勝法。

機率論的另一個發源地是記述統計學（Descriptive Statistics, 又譯成敘述統計學）。了解記述統計學的概念，對於機率論的學習，大有助益，因為前者是具體的，易懂的，後者是抽象的，虛玄的。由具體走到抽象是一條不錯的道路。

最終，機率論又成為推理統計學的理論基礎。在隨機的說不準中，我們還是要以機率的語言，透過機率法則，定量地來述說我們感興趣的事件之機率。

因此，我們就先從記述統計學談起。

機率空間（1）機率論的誕生（Probability space-1. The birth of probability theory）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

摘要：這是一系列關於機率空間(probability space)文章的第一篇，概述十六、十七世紀機率論的誕生，並介紹費馬與巴斯卡彼此通信時曾討論的兩個問題。

對一任給的 $$3$$ 次方程式

$$(1)~~~ax^3+bx^2+cx+d=0$$

或是 $$4$$ 次方程式

$$(2)~~~ax^4+bx^3+cx^2+ dx+e=0$$

都可將其解表示出來，只是很複雜，不像 $$2$$ 次方程式 $$ax^2+bx+c=0$$ 其解的形式很筒單，雖是國中時學的，很多人直到大學都仍記得。