量詞（二）：量詞的順序（Order of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯
連結： 量詞（一）：量詞與其否定
摘要：本文討論量詞的交換問題。
前一篇的命題中，除了「自然數無窮多」的命題外，量詞都只有一個。當量詞超過一個，它們的順序可不可以交換，就變成基本的問題。由底下的例子
$$\forall x\cdot\forall{y}\cdot x^2+y^2\ge 0$$ 和 $$\forall y\cdot\forall{x}\cdot x^2+y^2\ge 0$$，$$x,y$$ 是實數。
或者
$$\exists x\cdot\exists{y}\cdot x^2+y^2=0$$ 和 $$\exists{y}\cdot\exists{x}\cdot x^2+y^2=0$$，$$x,y$$ 是實數。
量詞（一）：量詞與其否定（Negation of Quantifiers）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯
摘要：介紹量詞的意思，並討論含量詞命題的否定。
一般人第一次聽到推理思考的例子，通常並不是命題演算中「若 $$P$$ 則 $$Q$$」的實質蘊涵，而是下面這類亞里士多德式的三段論法：
所有人都會死
柏拉圖是人
所以柏拉圖會死
奇怪的「若P則Q」（二）（The Odd Material Implication II）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授
連結： 奇怪的「若P則Q」（一）
摘要：本文討論對於實質蘊涵的質疑與辯護。
如前一篇所述，「若 \(P\) 則 \(Q\)」的實質蘊涵規則很簡單，但也因此造成一些令人質疑的缺點：
奇怪的「若P則Q」（一）（The Odd Material Implication I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯
摘要：命題演算「若 \(P\) 則 \(Q\)」的真值表規則，經常困擾初學者。本篇討論這個規則。
早年高中數學教材由於受到「新數學」的影響，為了強調數學的嚴謹，多了一些邏輯的材料，後來一直延續下來。還記得高一剛入學時，看到類似底下的考題，真會令初見的人嗔目結舌：
推理能力是天生的嗎？（二）(Is Inference Competency Innate？II)
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯
摘要：本文說明演化心理學所提供的負面證據，說明人類在論證時，空有論證形式，可能更關心利益之衝突。
本篇要來揭曉上一篇的答案，三個例子的答案都是最左邊和最右邊的卡。看看你的答案是不是正確，或者看看你所花的時間，那個例子花了你比較長的時間。
事實上，這三個試驗的邏輯結構完全一樣，試驗中的規定都是「若 P 則 Q」的形式，從左到右的卡都是「P」「~P」「Q」「~Q」的選樣。而違反「若 P 則 Q」的結果，由命題邏輯知道是「P 且 ~Q」（或寫成 P 真且 Q 假）的情況，因此必須兩面檢查的都是最左邊的 P 與最右邊的 ~Q。
推理能力是天生的嗎？（一）（Is Inference Competency Innate？I）
國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授/國立臺灣大學數學系翁秉仁副教授責任編輯
摘要：成人的爭辯經常荒腔走板，人類真的有天賦的推理能力嗎？演化心理學提供有趣的試驗。
兒童到小學階段，學習語言的能力非常快，不管父母是來自什麼種族，只要他在在另一個種族文化的環境下長大，就可以迅速並全面的學習他們的語言。相較於成人學習語言的緩慢與無效率，小孩子的語言能力幾乎是一個奇蹟。由於這個現象舉世皆然，和文化因素並無關係，因此普遍相信是來自於人類演化的結果，屬於內凜的天賦。語言學家Chomsky更為此，發展了他期望可以一統所有語言的「生成文法」（generative grammar），來說明這個事實。
巴斯卡與數學歸納法（Pascal and Mathematical Induction）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系許志農教授責任編輯
摘要:本文介紹巴斯卡在其著作《論算術三角形》中的推論12，以及巴斯卡在證明推論12所用的方法與今日數學歸納法的關係。
巴斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）因「巴斯卡三角形」而廣為中學學生所認識，然而，大部分中學生以及中學老師並不知道，巴斯卡在《論算術三角形》（A treatise on the Arithmetical Triangle）一書中，除了介紹「算術三角形」（即俗稱的「巴斯卡三角形」）外，還利用了「疑似的」數學歸納法來證明其中的性質，因此，巴斯卡曾被認為是最早使用數學歸納法的人。為什麼說「疑似的」呢？請繼續看下去。
皮亞諾公設(Peano axiom)
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
自然數的皮亞諾公設是數系的發展基礎，它簡要地說明了數學是一種基於公設的邏輯結構。
自然數的理論基礎，是數系發展的邏輯起點，對於十九世紀開始大力追求分析學嚴密化的數學家而言，當然至為重要。不過，這有賴於集合理論的系統性發展以及對於基數(cardinal number) 概念的進一步澄清，而這些都必須等到十九世紀後期康托爾 (Georg Cantor) 的相關研究之後，才開始萌芽。
邏輯循環謬誤（On Circular fallacy）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
有關邏輯的循環謬誤出現在非常基本的命題論證，本文提供了一般人視為理所當然的例子，供教師參考與借鑑。
美國加州公立數學課程綱要K-12的「論理嚴密」，一向廣受國內數學家推崇：因為他們指出：「數學的最重要目標，是教授學生邏輯推論。隱含在數學學習中的邏輯推理，允許我們將數學應用到很大範圍的情境上，其中有關實際問題的解答可以達到精確的程度。上了八年級以後，學生的數學敏銳度應該強化。他（她）們需要開始理解邏輯的奧妙，並體會到下結論之前實質有效的論證之需求。數學推理與概念理解不應與內容分離；它們是內稟(intrinsic) 於學生在更高層次精通的數學分科之中。」
無限與集合論（The infinite and set theory）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯
集合論不只是集合的簡單運算而已，康托爾的創立此一理論之初衷，是想要藉此探索無限作為一個物件的特性。
「無限」可以區分大小等級，這是幾乎不可能想像得到的事物，因為這預設了無限可以視同為一種數學物件（mathematical object）。然而，數學史上如高斯這樣偉大的數學家都曾經只能將無限視為一種過程（process），無怪乎利用集合來表徵無限集體的康托爾（Georg Cantor），會在十九世紀下半葉，遭受到數學界那麼巨大的反撲！
事實上，無限作為一個不會結束的過程之想法，很久以來一直是個有用的數學工具。古希臘人據以處理不可公度的量以及求曲線形面積的「窮盡法」，乃至於微積分基礎概念－極限－的底層憑藉，都離不開無限的概念。然而，處理物件的無限集體，則是相當新穎的數學活動。