微積分二

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(本課程是上學期【微積分一】的延續。) 

數與形的探索是數學的核心,發生在自然科學與量化學科的各個角落。從公元前埃及人丈量尼羅河氾濫土地面積、各古文明校正曆法與觀測星象等實用目的開始,直至人類企圖認識天體運行與各種力學現象背後可能隱藏的深邃卻可以理性理解的原理,過程中混合了古希臘人追求純粹理性的產物──歐氏幾何,以及它的代數化──由費馬(Fermat)與笛卡兒(Descartes)所發展的坐標幾何,其間經歷約兩千年,終於在十七世紀時由牛頓(Newton)與萊布尼茲(Leibniz)集大成發展成了一個完整的思想體系──微積分──微分與積分的統稱,並將之用於解決各種科學問題。這可以說是今日所謂的「數學分析」的黎明。 

積分的概念始於求取形體的面積,在阿基米德(Archimedes)之前的古代,只有最簡單的圖形如矩形、三角形、圓形等的面積能被求出;接著利用十分精巧的求和方法,他能求得利用圓錐曲線與直線構成的一些圖形的面積。然而,這些精巧的方法無法處理更複雜的圖形。微分的概念則源於求取變化率如速度、斜率等。直到十七世紀微分與積分之間互逆的關聯才逐漸明朗,這個關聯現在被稱為「微積分基本定理」,它提供了有效計算各類面積、體積或者說更一般的和(如轉動慣量)的方法,以及許多古代人意想不到的抽象應用。 

其後,在十八世紀裡,承接這些思想的後繼者們──伯努利家族(the Bernoulli family)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)與拉普拉斯(Laplace)等人繼續在剛體運動、天體力學、流體力學、機械、工程等領域攻城掠地,以微積分為基礎作出了廣泛而細緻的應用。這個時期人們對微積分技巧的掌握雖然更加圓熟,但同時也發現了許多直覺上似乎可行的運算會導致無法自圓其說的謬誤。

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微積分二 臺大數學系 齊震宇 教授
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