分析一

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本課程可視為104學年度的【微積分一、二】(數微)的延續;同時,在過程中亦將使用數微的各種內容,建議有興趣的朋友先參考數微的課程網頁:http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ntu-ocw/
在該網頁中有列一些相關資源的連結,請多加利用。 

【分析】課程概述 
在數學中,「分析」是「所有關於數量的研究」的同義詞。那麼,這裡說的「數量」是什麼呢?粗略地說,數量指的是「定義在空間上的函數」。這時自然得問:「空間是什麼?函數又是什麼呢?」雖然這些辭彙我們在中學(或甚至小學?)便聽過,在日常生活中亦不乏使用的機會,在數學中它們卻常有更多的樣貌。 
若不算中小學裡學習有關數量的常識,微積分大概是許多人了解分析的起點,在那裡,我們密集地接觸了求總和(級數、面積、體積、通量等)與求變化率(導數、速度、加速度、密度、曲率等)的觀念,以及它們之間的種種關聯。在微積分的基礎學習階段,所謂的「空間」大多指的是n維歐氏空間(例如大家熟悉的xyz實數坐標空間)及其中某些特殊形態的子集合,如曲線、曲面等等。「函數」則是以這些集合為定義域的實數值或是向量值函數。在【分析】中,我們將談論更廣義的空間與函數觀念。以下略舉幾個重點來介紹。….

(點我看更多)
 

分析一:【複變函數論簡介1】複數意義下的可微分性;全純函數;Cauchy Riemann方程;複變函數的線積分;….  
分析一:【複變函數論簡介2】利用Cauchy積分定理計算定積分/瑕積分;Cauchy積分公式
分析一:【複變函數論簡介3】極大模原理;孤立奇點;全純函數在孤立奇點的Laurent展開;留數與留數定理。
分析一:【複變函數論簡介4】孤立奇點分類:可移去的奇點、極點與本質奇點;全純函數接近孤立奇點時的性質。
分析一:【複變函數論簡介5】極大模原理的又一應用:Schwarz引理
分析一:【複變函數論簡介6】幅角原理(the argument principle)
分析一:【複變函數論簡介7】保角性;全純函數的(部分)反函數;對數函數
分析一:【複變函數論簡介8】開映射原理
分析一:【複變函數論簡介9】(討論)對數函數與開方根;幅角原理的名稱由來
分析一:【複變函數論簡介10】複變數複數冪函數;複變數複數冪的二項式定理
分析一:【向量空間上的分析概念1】向量空間、賦範空間、內積空間的一般概念
分析一:【向量空間上的分析概念2】內積空間中的正交(orthogonal)族與么正族(orthonormal family)
分析一:【向量空間上的分析概念3】內積空間中對么正族的投影;Bessel不等式;Fourier係數;Parseval條件
分析一:【函數的Fourier級數1】連續函數的均勻逼近1:Cesàro求和與Fejér定理(以三角級數均勻逼近連續週期函數)
分析一:【函數的Fourier級數2】連續函數的均勻逼近2:標準三角函數族在週期為2π的連續函數空間中滿足…
分析一:【函數的Fourier級數3】Fourier級數收斂定理
分析一:【函數列的收斂子列1】函數族的等度連續性
分析一:【函數列的收斂子列2】從函數序列中製造均勻
分析一:【函數列的收斂子列4】Peano關於具有連續設定的ODE的解的存在性定理
分析一:【選擇公理:等價敘述與應用1】 偏序、全序與良序;Zorn引理與Zermelo良序原理
分析一:【點集拓樸簡介1】拓樸空間與映射連續性的觀念;緊緻性
分析一:【選擇公理: 等價敘述與應用2】Zorn引理的一些基本應用: 集合基數的可比較性、向量空間中的…
分析一:【點集拓樸簡介2】鄰域/近傍(neighborhood)與映射的連續性;拓樸空間中一子集的內點、外點、邊界點…
分析一:【點集拓樸簡介3】閉包操作與聯集以及連續映射的關聯
分析一:【點集拓樸簡介4】幾種基本的分離性條件
分析一:【點集拓樸簡介5】拓樸的粗(弱)與細(強);預設某些子集為開而得到的最粗拓樸─subbasis的觀念…
分析一:【點集拓樸簡介6】(習題檢討)閉包、內部、邊界與極限點的關係;對局部有限子集族求閉包與求聯擊集…
分析一:【點集拓樸簡介7】給定集合中怎樣的一組子集會形成某個拓樸的basis…
分析一:【點集拓樸簡介8】Initial topology的概念;子空間拓樸;積拓樸
分析一:【點集拓樸簡介9】final topology 的概念;等價關係、等價類與商集合;商拓樸(quotient topology)與商映射
分析一:【點集拓樸簡介10】緊緻子集與緊緻空間;緊緻性、閉性與Hausdorff性的關聯;恰當映射(proper map)…
分析一:【點集拓樸簡介11】在拓樸空間上構造非常數的實數值連續函數;局部緊緻空間 
分析一:【點集拓樸簡介12】一些概念的序列描述;緊緻賦距空間、序列緊緻、全然有界與完備性 
分析一:【點集拓樸簡介13】序列概念的推廣─net(一) 
分析一:【點集拓樸簡介14】序列概念的推廣─net(二):任何 net 都有 universal subnet 
分析一:【點集拓樸簡介15】序列概念的推廣─net(三): 以net與universal net刻化緊緻性; Tychonoff 定理…
分析一:【點集拓樸簡介16】一個Ascoli定理的推廣;相對緊緻子集 
分析一:【點集拓樸簡介17】緊緻空間上連續函數族的均勻閉包─Stone-Weierstrass逼近定理 
分析一:【點集拓樸簡介18】單位分解(partition of unity);paracompactness的概念與基本性質 
分析一:【測度論1】可測空間、可測映射;含有一子集族的最小 sigma-algebra;initial and final sigma-algebra…
分析一:【測度論2.1】Borel sets與連續映射;trace sigma-algrbra;定義在子集上對於給定 sigma-algebra…
分析一:【測度論2.2】關於sigma代數與可測映射的一些註解 
分析一:【測度論3.1】Lebesgue的積分理論 
分析一:【測度論3.2】Lebesgue單調收斂定理;以單純函數單調逼近可測非負函數;Fatou引理 
分析一:【測度論3.3】由積分造測度 
分析一:【測度論4.1】複值可積函數的一般性質 
分析一:【測度論4.2】Lebesgue控制收斂定理 
分析一:【測度論5.1】幾乎處處(almost everywhere)的概念;完備測度空間;測度空間的完備化;擴充意義下的積分 
分析一:【測度論5.2】幾個與積分有關且幾乎處處成立的性質 
分析一:【測度論6.1】外測度1:外測度;Carathéodory構造─由外測度構造完備測度空間 
分析一:【測度論6.2】外測度2:以「加權」覆蓋構造外測度;Lebesgue可測集與Lebesgue測度;正則性…
分析一:【測度論7】Darboux-Riemann可積性 vs Lebesgue可積性:Darboux-Riemann可積性的Lebesgue判別法 
分析一:【測度論8.1】測度與卡氏積1:monotone class characterization of product sigma-algebra;slices…
分析一:【測度論8.2】測度與卡氏積2:積測度的定義 
分析一:【測度論8.3】測度與卡氏積3:可測函數對積測度的積分與逐次積分(非負函數的情形)─Tonelli定理 
分析一:【測度論8.4】測度與卡氏積4:可測函數對積測度的積分與逐次積分(可積函數的情形)─Fubini定理 
分析一:【測度論9】可測函數序列不同型態的收斂及其關聯─幾乎處處收斂、測度意義下收斂與平均意義下收斂…