分析二/齊震宇

(可由影片左上方標籤,選擇課程主題)

本課程為104學年度【微積分一、二】(數微)以及105學年度【分析一】的延續;同時,在過程中亦將使用上述諸課程的各種內容,建議有興趣的朋友先參考相關的課程網頁:

https://nol.ntu.edu.tw/nol/coursesearch/print_table.php?course_id=201%2049580&class=&dpt_code=2010&ser_no=79958&semester=104-2&lang=CH

https://nol.ntu.edu.tw/nol/coursesearch/print_table.php?course_id=221%20U6540&class=&dpt_code=2010&ser_no=19457&semester=105-1&lang=CH

在該網頁中有列一些相關資源的連結,請多加利用。

【分析二】預計談論的主題如下 

(1) 測度論 

在【分析一】中我們介紹了一般測度空間與可測函數的概念,談論了Lebesgue積分在取函數列極限時的特性(Lebesgue的單調收斂定理與控制收斂定理、Fatou引理)、利用外測度來構造測度(Carathéodory構造)以及測度空間的積空間上的測度與積分理論(Fubini-Tonelli定理)。在本學期的課程中,我們將繼續下述主題:….

(點我看更多)
 

分析二:【點集拓樸簡介19】單位分解與paracompactness的關聯
分析二:【點集拓樸簡介20】局部有限開覆蓋的收縮定理
分析二:【點集拓樸簡介21】局部緊緻Hausdorff空間中的部分單位分解(partial partition of unity)
分析二:【點集拓樸簡介22】Stone定理─任何可賦距空間皆是paracompact
分析二:【可微流形簡介1】拓樸流形的概念;拓樸地圖與地圖集(topological charts and topological atlas);維度…
分析二:【可微流形簡介2】可微流形與可微映射 ─ C^k流形與C^k結構;C^k映射;標準微分結構與怪(exotic)微分…
分析二:【可微流形簡介3】關於可微流形上坐標系的一個註解
分析二:【可微流形簡介4】可微流形在每個點處的切向量;每點的切空間(該點處切向量的全體)上的向量空間結構…
分析二:【可微流形簡介5】可微映射導出的切映射(tangent maps)及其坐標表示法
分析二:【光滑函數的基本性質1】在歐氏空間中實際構造顛簸函數 (bump functions);Whitney定理─歐氏空間…
分析二:【光滑函數的基本性質2】利用單位分解拼湊局部資訊的例子
分析二:【光滑函數的基本性質3】光滑映射的臨界值(critical value)與正則值(regular value)
分析二:【可微流形簡介6】子流形的概念
分析二:【可微流形簡介7】流形間光滑映射的切映射(tangent map)的秩、正則值與子流形的關係
分析二:【可微流形簡介8】習題檢討:關於子流形的討論
分析二:【可微流形簡介9】流形上的 partition of unity
分析二:【可微流形簡介10】流形上的定向(orientation)概念
分析二:【可微流形簡介11】微分形式(differential form)(一):(局部版本)歐氏半空間中開集上的微分形式與…
分析二:【可微流形簡介12】微分形式(二):(大域版本)流形上的微分形式與它們的一些基本操作
分析二:【可微流形簡介13】微分形式(三):賦向流形(oriented manifold)上最高次微分形的積分
分析二:【可微流形簡介14】微分形式(四):賦向流形的正定向(positively oriented)流形邊界;流形上的Stokes…
分析二:【可微流形簡介15】微分形式(五):流形上的Stokes定理(證明)
分析二:【可微流形簡介16】微分形式(六):比較流形上微分形式的積分與傳統上先將積分區域參數化後所算得…
分析二:【可微流形簡介17】流形上「場」(field)的概念(一):切向量場;藉著「黏貼」來構造拓樸空間與流形
分析二:【可微流形簡介18】流形上「場」的概念(二):張量場與微分形式
分析二:【可微流形簡介21B】微分形式(十二):前次問題討論;Mayer-Vietoris正合(exact)序列
分析二:【可微流形簡介21C】微分形式(十三):星形集(star-shaped set)的上同調─Poincaré引理 
分析二:【可微流形簡介21D】微分形式(十四):映射的同倫;同倫等價;deformation retract;上同調映射…
分析二:【可微流形簡介21E】Brouwer不動點定理;連續映射版本的幅角原理 
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介1】
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介2A】同倫算子(仿射鍊版本) 
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介2B】同倫算子(一般奇異鍊的版本);鍊同倫…
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介3A】重心分割(barycentric subdivision)(仿射單體版本) 
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介3B】重心分割(一般奇異鍊的版本);分割算子sd…
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介3C】由開覆蓋導出的一種同調群;奇異同調群的Mayer-… 
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介3D】(回顧:奇異同調群的Mayer-Vietoris序列);…
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介3D】球面扣除一個有界閉方塊的拓樸嵌入影像後的同調群; 
分析二:【研究連續函數的代數方法─奇異同調論簡介3D】球面扣除一個較低維球面的拓樸嵌入影像後的同調群;…
分析二:【Banach空間上的微積分1】Banach空間的實例
分析二:【Banach空間上的微積分2】可微映射與導映射(derivative);四則運算的求導法則
分析二:【Banach空間上的微積分3】取值於Banach空間中的單變數連續函數的Riemann積分;微積分基本定理;…
分析二:【Banach空間上的微積分4】高階導數;連續可微分性與交換求導順序;偏導數
分析二:

 

實分析二

實分析二

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2016

2016青年尬科學-北區初賽

口說初賽規則
  1. 以科學短講方式,介紹徵文所撰寫的科普好書。
    (*我們鼓勵同學以種子、豆類植物的知識為主,進行導讀和口說短講,也可以全書為範圍進行。)
  2. 短講時間6±1分鐘。(時間不足5分鐘或超過7分鐘,每30秒扣總分2分)
  3. 評審答問3分鐘。
    可使用設備:筆電、簡報器、投影設備、麥克風

     

    • 統一使用主辦單位提供之筆電播放檔案。
    • 筆電恕不提供參賽者修改作品。
  1. 短講人數、形式不限,如有需要,隊伍可自備道具。
晉級
  1. 北、中、南三區依參賽比例共取12隊晉級複賽
  2. 每區晉級名額以外,另列2-3隊候選隊伍。
  3. 分數須滿足最低晉級門檻,否則隊伍將無法晉級。
  4. 如各區晉級隊伍因故無法參賽或棄權,名額將釋出,於候選隊伍擇優挑選。
  5. 晉級初賽隊伍,每人可獲得寫作獎狀一份,於當天競賽結束後頒發。
評分方式

科學深度30%、評審問答20%、啟發性30%、台風20%。

 

2016青年尬科學-北區初賽
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/01Wonderland
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/02逗豆阿河
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/03為帥不欲人知
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/04延平尚青隊
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/05Seed seekers
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/06SSK
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/07聞胰液科學家
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/08己人優天
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/09蹦!沙卡啦卡
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/10Super愛豆
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/11豆~豆龍~豆~豆摟
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/12醬油世家
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/13豆趣攻城獅
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/14Methodology
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/15the 豆兒 is everything
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/16北極熊吃魚耍槍
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/17HumanSeeding
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/18大同 McDonut
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/19東風隊
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/20夏天的秋刀魚
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/21科學華江人
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/22LNerd LabC
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/23臺灣特有種
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/24豆陣來起酵
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/25子曰
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/26傳說中的種子
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/27星巴克讚
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/28三個逗皮匠
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/29台灣No.1
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/30魚兒魚兒水中游
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/31The Power of Seed
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/32與豆共舞
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/33JEM
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/34阿不就好豆豆
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/35認真魔人
2016台積電盃-青年尬科學 北區初賽/評審講評

 

微積分

微積分二

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(本課程是上學期【微積分一】的延續。) 

數與形的探索是數學的核心,發生在自然科學與量化學科的各個角落。從公元前埃及人丈量尼羅河氾濫土地面積、各古文明校正曆法與觀測星象等實用目的開始,直至人類企圖認識天體運行與各種力學現象背後可能隱藏的深邃卻可以理性理解的原理,過程中混合了古希臘人追求純粹理性的產物──歐氏幾何,以及它的代數化──由費馬(Fermat)與笛卡兒(Descartes)所發展的坐標幾何,其間經歷約兩千年,終於在十七世紀時由牛頓(Newton)與萊布尼茲(Leibniz)集大成發展成了一個完整的思想體系──微積分──微分與積分的統稱,並將之用於解決各種科學問題。這可以說是今日所謂的「數學分析」的黎明。 

積分的概念始於求取形體的面積,在阿基米德(Archimedes)之前的古代,只有最簡單的圖形如矩形、三角形、圓形等的面積能被求出;接著利用十分精巧的求和方法,他能求得利用圓錐曲線與直線構成的一些圖形的面積。然而,這些精巧的方法無法處理更複雜的圖形。微分的概念則源於求取變化率如速度、斜率等。直到十七世紀微分與積分之間互逆的關聯才逐漸明朗,這個關聯現在被稱為「微積分基本定理」,它提供了有效計算各類面積、體積或者說更一般的和(如轉動慣量)的方法,以及許多古代人意想不到的抽象應用。 

其後,在十八世紀裡,承接這些思想的後繼者們──伯努利家族(the Bernoulli family)、歐拉(Euler)、拉格朗日(Lagrange)與拉普拉斯(Laplace)等人繼續在剛體運動、天體力學、流體力學、機械、工程等領域攻城掠地,以微積分為基礎作出了廣泛而細緻的應用。這個時期人們對微積分技巧的掌握雖然更加圓熟,但同時也發現了許多直覺上似乎可行的運算會導致無法自圓其說的謬誤。

(點我看更多)
 

微積分二 臺大數學系 齊震宇 教授
微積分二:導論(一):微分、積分與級數回顧;以積分重新構造對數與指數函數
微積分二:導論(二):冪級數回顧;指數函數;正弦、餘弦函數與它們的週期;π是什麼?
微積分二:導論(三):弧長與可求長的曲線;Schwarz的折面例子
微積分二:導論(四):代數基本定理
微積分二:Abel級數重寫引理及其應用
微積分二:關於冪級數的Abel定理
微積分二:關於ODE
微積分二:(複習)ODE的概念與其幾何圖示;ODE的首次積分
微積分二:ODE解的存在性與唯一性定理
微積分二:(複習)Picard迭代法;ODE解的存在與唯一性定理
微積分二:Lipschitz條件不滿足時唯一性不成立的ODE初值問題實例;ODE的極大延伸解
微積分二:【常微分方程】在物理中的例子:萬有引力定律、單擺
微積分二:【常微分方程】首次積分、保守力場與位能、能量守恆律
微積分二:【角度函數】極坐標回顧;連續可微分平面運動的角度函數
微積分二:【常微分方程】自守型ODE;解落在緊緻集中存活時間便無窮;相圖(以單擺為例)
微積分二:【常微分方程】再訪常係數線性ODE的解:Picard迭代法vs.自然底數以方陣為指數的值
微積分二:【常微分方程】角度函數問題的解答(續3/17(B));線性ODE解的存在與唯一性
微積分二:【常微分方程】連續平面運動均有連續角度函數
微積分二:【關於擺的討論】單擺回顧
微積分二:【關於擺的討論2】惠更斯擺 (Huygen's pendulum)
微積分二:【積分概念回顧】上、下和與上、下積分;可積函數
微積分二:【一些點集拓樸概念】賦距空間中一集合的內點、外點與邊界點
微積分二:【積分與逐次積分1】Fubini定理(基本版)
微積分二:【積分概念】圖形(figure)與其上的積分
微積分二:【積分概念】Fubini定理(回顧)、Fubini定理進階版
微積分二:【多變數微分理論1】(回顧)可微性;導數矩陣/Jacobi矩陣;鎖鏈律
微積分二:【多變數微分理論2】梯度向量;(積分與偏導數混合版本的)均值定理
微積分二:【多變數微分理論3】局部最優化(極大值與極小值)與臨界點(critical pounts);函數的凸性;…
微積分二:【多變數微分理論4】(非正式討論)隱函數的概念與隱微分
微積分二:【如何描寫空間中的物件1】參數化觀點(image觀點)與方程式觀點(preimage觀點)
微積分二:【如何描繪空間中的物件2】將方程式(等式)所描述的物件參數化的例子:(有號)極座標表示;…
微積分二:【多變數微分理論5】隱函數與隱微分:隱函數定理(單個方程式的情形)
微積分二:【多變數微分理論6】拉格朗日乘子法 (Lagrange multiplier)
微積分二:【多變數微分理論7】隱函數定理(多個方程式的情形)
微積分二:【反函數定理1】(毫無啟發性的解說方式)
微積分二:【反函數定理2】
微積分二:【積分變數變換1】初等映射;將變數變換局部分解為初等映射的合成
微積分二:【積分變數變換2】一些關於映射與圖形(figure)的基本性質
微積分二:【積分變數變換3】任意維度的球體體積;高維度球座標;正交座標系
微積分二:【多變數瑕積分1】絕對收斂的瑕積分
微積分二:【曲線的基本概念1】(平面或空間中的)正則曲線;平面曲線的有號曲率(signed curvature);…
微積分二:【形心與重心的定義】(將在之後【曲線的基本概念2】用到)
微積分二:【曲線的基本概念2】積分變數變換公式搭配Frenet標架的應用:體積問題
微積分二:【曲面的面積1】三維空間中參數曲面的面積定義與其合理性
微積分二:【曲面的面積2】推廣: n維空間中的m維體積應該如何定義
微積分二:【古典向量分析1】功與向量場沿給定路徑的線積分
微積分二:【古典向量分析2】梯度場(保守場)的概念;一個向量場是梯度場的必要條件
微積分二:【古典向量分析3】(非正式討論)同倫 (homotopy)的概念;單連通空間
微積分二:【古典向量分析4】「一向量場是梯度場」若且唯若「它沿著連續可微曲線積分的值僅與端點有關」…
微積分二:【古典向量分析5】滿足梯度場必要條件的向量場沿方塊映射的邊界曲線積分必為零
微積分二:【古典向量分析6】關於平面區域向量場的Green定理