和算裡的弧長之冪級數公式（二）（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）

和算裡的弧長之冪級數公式（二）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：和算裡的弧長之冪級數公式（一）

〈和算裡的弧長之冪級數公式（一）〉裡，介紹了和算家建部賢弘所造的弧長冪級數公式，本文中，我們將以建部賢弘所用的方法為例，說明當時的數學家如何造出與弧長相關的正確冪級數公式。

建部賢弘《綴術算經》書中所提出的第十二個問題為「探弧數」，當中他詳細地說明了如何造出弧長公式的方法。假設圓直徑為一尺，欲求某段「弧長之半的平方」之值，建部賢弘首先「截矢一忽之弧二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造十六斜，逐如此倍截之數，求各截半背冪，依累遍增約術，得定半背冪。」這裡他先利用了割圓的方式，計算出弧長的近似值，再以他發明的數值逼近方法「累遍增約術」，求得弧長近似值五十餘位，並稱之為「定半背冪」。

換句話說，上述定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 這個數值，是建部賢弘所計算出，並認定正確的弧長近似值。
接著，建部據此數值，反過來探求弧長之冪級數公式。

圖一為《綴術算經》探弧數之參考圖形，
這裡我們令圓直徑 \(\overline{BE}\) 為 \(R\)、矢 \(\overline{BD}\) 為 \(a\)、\(ABC\) 弧長為 \(s\) 且弦長 \(\overline{AC}\) 為 \(c\)。

圖一《綴術算經》探弧數之參考圖形

首先，矢徑相乘 \(Ra\) 即為二斜之截背冪（圖一中的 \(\overline{AB}^2\)）。

建部命其為「泛半背冪」（即 \(AB\) 弧長平方 \((\frac{s}{2})^2\) 的近似值），

接著，以前述計算出的定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 減去泛半背冪（\(Ra\)）為一定差（\(E_1\)），

即 \(E_1=(\frac{s}{2})^2-Ra\)，此值可視為截背冪 \(\overline{AB}^2\) 與所求半背冪之間的誤差。

接著，建部觀察發現一定差（\(E_1\)）除以矢冪（\(a^2\)）所得之值，約為 \(0.3333335111…\)，

據零約術可求得 \(0.3333335111\) 約為 \(\frac{1}{3}\)，即 \(E_1\approx \frac{1}{3}a^2\)，

建部稱此誤差近似值 \(\frac{1}{3}a^2\) 為一泛差（\(A_1\)）。¹

接著以一定差（\(E_1\)）減一泛差（\(A_1\)）可得 \({(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2}\) 此為二定差（\(E_2\)），

此值即 \({(\frac{s}{2})^2}\) 與 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2}\) 之誤差。

類似地，依據實際數值代入可計算出二定差（\(E_2\)），

再除以 \(\frac{1}{3}{a^2}(\frac{a}{R})\) 所得之值約為\(0.533333676191….\)，

同樣據零約術可求得 \(0.533333676191…\) 約為 \(\frac{8}{15}\)，

如此可得 \({E_2} \approx \frac{8}{{15}}\frac{{{a^2}}}{3}(\frac{a}{R}) = \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\)，建部稱此誤差近似值 \(\frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\) 為二泛差（\(A_2\)）。

接著以二定差（\(E_2\)）減二泛差（\(A_2\)）

可得 \({(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2} – \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\) 此為三定差（\(E_3\)），

此值即 \({(\frac{s}{2})^2}\) 與 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\) 之誤差。

類似地，計依實際數值代入可計算出三定差（\(E_3\)），

再除以 \(A_2(\frac{a}{R})\) 所得之值約為 \(0.6428576…\)，

同樣據零約術可求得 \(0.6428576…\) 約為 \(\frac{9}{14}\)，

如此可得 \(E_3\approx\frac{9}{{14}}\frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})(\frac{a}{R}) = \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2}\)，建部稱此誤差近似值三泛差（\(A_3\)）。

再接著以三定差（\(E_3\)）減三泛差（\(A_3\)）

可得 \({(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2} – \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) – \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2}\) 此為四定差（\(E_4\)），

此值即 \((\frac{s}{2})^2\) 與 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) + \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2}\) 之誤差。

以此類推，逐次求得至七定差。

綜觀此過程，建部賢弘欲求 \((\frac{s}{2})^2\) 的展開式，

先求得 \((\frac{s}{2})^2\) 的第一個近似值 \(Ra\)，以及第一個誤差  \(E_1 = {(\frac{s}{2})^2} – Ra\)；

接著求出誤差 \(E_1\) 的近似值 \(A_1=\frac{1}{3}a^2\)，

便可得 \((\frac{s}{2})^2\) 的第二個近似值 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2}\)；以及第二個誤差 \(E_2={(\frac{s}{2})^2} – Ra – \frac{1}{3}{a^2}\)；

接著求出誤差 \(E_2\) 的近似值 \(A_2=\frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\)，

便可得 \((\frac{s}{2})^2\) 的第三個近似值 \(Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R})\)。

以此類推，隨著這個過程各誤差越來越小，便可迭代地求得更精確的半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 展開式：

\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra + \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{45}}{a^2}(\frac{a}{R}) + \frac{4}{{35}}{a^2}{(\frac{a}{R})^2} + \frac{{128}}{{1575}}{a^2}{(\frac{a}{R})^3} + \frac{{128}}{{2079}}{a^2}{(\frac{a}{R})^3} +\cdots\)

即將弧長相關的 \((\frac{s}{2})^2\) 表示成徑（\(R\)）與矢（\(a\)）的無窮級數展開式。

接著，建部賢弘依據各差係數，探求各差係數之間的一般性關係，接著他提出他所探得之規律：

視求其逐差之乘除之數探會，乘法一差起於一，以逐段增一算之元數二差二、三差三、四差四，以上也，各自乘，奇段為一差、三差、五差，以上者也，直偶段倍數為二差、四差、六差、以上者也。除法，左數起於 一差三，逐段增二算之元數二差五、三差七、四差九，以上也，右數，奇段起於一差一，逐段增一算之元數三差二、五差三、七差四，以上也，偶段起於二差三，逐增二段之元數四差五、六差七、八差九，以上也，探會為以各左右之元數相乘者數。

上述內容相當於歸納求出奇數項係數為 \({a_{2k – 1}} = \frac{{{{(2k – 1)}^2}}}{{[2(2k – 1) + 1] \cdot k}}\)，偶數項係數為 \({a_{2k}} = \frac{{2{k^2}}}{{(2k + 1) \cdot (4k + 1)}}\)，依這些規律可求得任意各項之係數²，因此，此過程相當於求出前述展開式的一般性規律：\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra[1 +\sum\limits_{k = 1}^\infty{\frac{{{{(2k)}^2}}}{{(2k + 1)(k + 1)}}} {(\frac{a}{R})^k}]\)

上式可進一步表示成具遞迴關係的公式：

\({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = Ra + \frac{1}{3}{a^2} + {D_1}\frac{8}{{15}}(\frac{a}{R}) + {D_2}\frac{9}{{14}}(\frac{a}{R}) + {D_3}\frac{{32}}{{45}}(\frac{a}{R}) + {D_4}\frac{{25}}{{33}}(\frac{a}{R}) +\cdots\)

即 \({\left( {\frac{s}{2}} \right)^2} = {D_0} + {D_1} + {D_2} + … + {D_k} +\cdots\)

其中， \({D_0} = Ra\)、\({D_k} = \frac{{2 \cdot {k^2}}}{{(k + 1)(2k + 1)}}{D_{k – 1}}(\frac{a}{R})\)。

綜合來看，建部賢弘是先割圓輔以累遍增約術，求得「半背冪」，即弧長之半平方的近似值，接著，再據此近似值，反過來探求相關展開發公式。此一進路與一般數學家先求公式，再以公式求數值的方式迥然不同。建部賢弘這種由數值探求公式（據數探術）的方法，其實也是和算家探求術－演算法或公式時常用的重要方法。

參考文獻：

¹:一泛差即誤差「一定差 \(E_1\)」的近似值。
² 事實上，偶數項與奇數項係數的規律可簡化為 \({a_k} = \frac{(2k)^2}{(2k+1)(k+1)}\)。