【2016年諾貝爾物理獎特別報導】物質在平面世界裡的奇異現象

物質在平面世界裡的奇異現象 (Strange phenomena in matter’s flatlands)
高瞻計畫特約編譯 葉承効/國立臺灣大學物理學系講座教授 郭光宇責任編輯

今年獲獎的研究開啟了一扇大門，讓人看到未知世界裡物質的新奇形態。2016的諾貝爾物理獎一半由華盛頓大學的大衛・索勒斯（David J. Thouless），另一半則由普林斯頓大學的鄧肯・哈爾丹（F. Duncan M. Haldane）及布朗大學的麥克・克斯特利茲（J. Michael Kosterlitz）共享此殊榮。他們的研究為人類理解物質的奧秘帶來突破性的發展，也為新穎材料的研發開創了新的前景。

大衛・索勒斯、鄧肯・哈爾丹及麥克・克斯特利茲使用了先進的數學方法，來解釋物質在異常狀態（如超導體、超流體或磁性薄膜）下出現的奇異現象。相較於真實世界的三維空間（包括長、寬、高的空間），克斯特利茲與索勒斯研究二維平面世界里發生的現象，即在物體的表面，或是極薄的介面上所出現的現象。而哈爾丹則研究極為纖細的、甚至可以視為一維空間的線狀物質。

在平面世界上發生的物理現象與我們周遭的世界非常不一樣。即使這些稀薄的物質也包含了數百萬的原子，且每一個原子的運動都可以用量子物理學描述，但是當這許多原子聚集在平面空間時，它們則顯現極為不同的性質。在這些平面世界上，科學家們不斷發掘新的原子集合現象，促使凝聚態物理成為現今物理學中最蓬勃發展的領域之一。

這三位獲獎的科學家將拓樸學的概念運用在物理學上，這是他們研究發現的決定性因素。拓樸學是數學的一個分支，它以物體的形貌來描述其性質的改變。透過將現代拓樸學作為工具，今年的獲獎者獲得了驚奇的研究成果，不僅開啟了新的研究領域，並且在數個物理學領域中建立起全新且重要的概念。

在低溫下可觀察到量子物理現象

圖一：物質的型態。最常見的型態為氣態、液態與固態。然而，在極度高溫或低溫的環境下，物質也會出現其他稀奇的狀態。（圖片來源：nobelprize.org）

回歸到最核心的部分，所有物質的行為都由量子物理的定律決定。物質通常以氣態、液態與固態的形式存在，而在這些型態下，量子效應通常隱藏在無規則的原子運動中。但是在接近絕對零度（攝氏零下273度）的極冷環境中，物質會出現奇特的新形態，而且會以出人意料的方式運動。轉眼間，本來只會在微量世界發生的量子物理現象，就可在巨觀世界觀察到（見圖一）。

常見的物質型態會因為溫度的改變而相互轉變。例如，冰是有順序排列的晶體（固態），受熱時冰會融化成水，變成一種更加混亂的物質形態（液態）。當我們觀察相對未知的平面世界的物質時，我們會發現這些物質的型態至今仍有許多研究空間。

在低溫下，會出現許多奇特的狀況。舉例來說，所有運動的粒子原本遇到的阻力會忽然消失。這就是在超導體中電流不會遇到任何阻力的超導現象，或在超流體中，渦流會永久轉動而不會減慢的超流效應。

1930年代的俄羅斯人彼得・卡皮察（Pyotr Kapitsa）是第一位有系統地進行超流體研究的人。他將氦-4氣體降溫至攝氏零下271度，使其轉化為液態氦並且讓它在容器邊緣出現往上爬的現象。這個現象的特別之處在於超流體本應具有的黏滯性已經完全消失了。卡皮察在1978年獲頒諾貝爾物理獎，自此之後，數種不同類型的超流體在實驗室中被製造出來。超流氦、超導體薄膜、磁性薄膜以及導電奈米線僅是眾多新材料形態的幾種，而對於這些新材料形態的研究正如火如荼地進行著。

渦旋對提供了解答

研究學者長久以來都相信即使是絕對零度的狀態下，熱擾動會破壞二維物質的所有排序。如果沒有任何排序的狀態，那麼就不會有狀態之間的轉變。但是1970年代初期，在英國伯明罕大學工作的大衛・索勒斯與麥克・克斯特利茲聯手挑戰當時的主流理論。他們於是開始研究平面世界里物質狀態轉變的問題（根據他們所說，索勒斯的動機是自己的好奇心，而克斯特利茲則是出於對此一無所知）。他們合作研究使得人們對物質狀態轉變有了全新的理解，他們的研究成果也是20世紀凝聚態物理學理論最重要的發現之一，稱之為「KT相變」（克斯特利茲－索勒斯相變），或是「BKT相變」，其中的B代表曾發表類似想法的已逝莫斯科物理學家維汀・巴勒辛斯基（Vadim Berezinskii）。

拓樸相變與常見的相變（如水與冰之間的相變）不同。在拓樸相變中，二維材料中的小渦旋扮演最主要的角色。在低溫度時，它們會形成緊束縛的渦旋對；當溫度升高時，就會產生相轉變：原本緊束縛的渦旋對會瞬間越離越遠，並在材料中各自自由移動（見圖二）。

圖二：相變。這會發生在物質狀態的轉變過程中，如冰融化成水。透過拓樸學，索勒斯與克斯特利茲描述了在極冷物質的表面薄膜上的拓樸相變。低溫狀態時，會出現渦旋對並且渦旋對會在到達相變溫度時忽然分開。這是20世紀中，凝聚態物理學最重要的發現之一。（圖片來源：nobelprize.org）

這個理論最棒的地方在於它适用於描述不同類型的低維度材料，也就是，KT相變是普遍存在的。這是一個相當有用的工具，不僅可以運用在凝聚態的物質世界，也可以運用在其他的物理領域，如原子物理或統計力學。KT相變的理論也經由其發現者以及其他學者加以發展，並且經過實驗的證實。

神秘量子的躍進

實驗的進展往往會發現諸多的物質新型態，需要進一步的解釋與理解。在1980年代，大衛・索勒斯與鄧肯・哈爾丹發表了突破性的新理論，挑戰過去的諸多理論。其中一項就是判斷材料是否為導體的量子理論。這項理論源於1930年代，而且經過數十年後，學界普遍認為這個物理學領域的問題已經完全理解。

因此，大衛・索勒斯在1983年證明過去的認知不夠完整，是一件多麼讓人驚訝的事。他進一步證明在低溫與強磁場下，仍需要一個新的理論，而建構此項理論時，拓樸學的概念將至關重要。大約在同一個時期，鄧肯・哈爾丹在進行磁性原子鏈的分析時，也得到一個極為相似，且同樣出人意料之外的結論。他們的研究成果在後來新的物質型態理論的戲劇性的發展，起了關鍵性的作用。

大衛・索勒斯使用拓樸學所描述的奇特現象，就是量子霍爾效應。這是在1982年由德國物理學家克勞斯・克利青（Klaus von Klitzing）發現的現象，他也是1985年的諾貝爾獎得主。他當時研究兩塊半導體間的導電薄膜，將其中的電子降溫至略微高於絕對零度，並且讓這些電子受到強磁場的影響。

在物理學中，在溫度降低時物質會出現劇烈的變化是很正常的，例如許多的材料會出現磁性。這是因為材料中的原子磁體會忽然指向同一個方向，而產生強力且可觀測的磁場。

然而，量子霍爾效應是難以理解的。薄膜中的電導率只能以極為精準的特定數值出現，這在物理學中是相當罕見的。而且當改變溫度、磁場或雜質含量時，電導率仍然維持不變。當磁場有足量的改變時，薄膜的電導率就會出現台階式的改變；降低磁場的強度會讓電導率增強整整兩倍，接著三倍、四倍。這種以整數增加的電導率是當時物理學無法解釋的，然而索勒斯用拓樸學找到這個謎題的解答。

從拓樸學而來的答案

拓樸學描述的是物體延展、扭曲或形變（但是沒有到斷裂的程度）時，其仍會維持不變的性質。例如，從拓樸學的角度來說，一個球體與一個碗是屬於同一個類別，因為一塊球狀的陶土可以塑形轉化成一個碗。但是，貝果（焙果）和有把手的咖啡杯則屬於另一個類別，他們都可以透過重新塑形，來成為彼此的形狀。所以，拓樸學的物體可能包含一個洞、兩個洞、三個洞或四個洞等，這些數字必須是整數。這正好能有效地描述量子霍爾效應中所發現的電導率僅以整數倍改變的情形（圖三）。

圖三：拓樸學。這個數學的分支關注階梯式改變的物體性質，如上述物品中洞的數量。拓樸是今年諾貝爾獎獲獎研究的關鍵，它解釋了薄膜中電導率以整數變化的現象。（圖片來源：nobelprize.org）

在量子霍爾效應中，電子能相對自由地在半導體間的薄膜中移動，並且會形成所謂的拓樸量子流體。當許多粒子聚集在一起時，通常會出現新的性質。同樣地，拓樸量子流體中的電子也會呈現出相當驚人的特性。如果只看一小部分的咖啡杯時，無法確定杯子上是不是有一個洞，同此，若我們只觀察部分電子的狀況，也不可能判斷電子是否有形成拓樸量子流體。導電率描述所有電子的集體形態，所以，因為它的拓樸性，它的變化將會是階梯式的，也就是量化的。拓樸量子液體的另一個特徵就是其邊緣具有異常的性質。這些都是理論所預測，並隨後獲得實驗證實的。

另一個里程碑是在1988年，鄧肯・哈爾丹理論預測與量子霍爾效應中相同的拓樸量子流體即使在沒有外加磁場下也可以在半導體膜中生成。他並說他從未想像自己的理論模型可以在實驗上實現，但是在2014年，在一項接近絕對零度的低溫實驗中，這個模型被驗證了。

新的拓樸學材料將接踵而至

更早期之前，鄧肯・哈爾丹於1982年發表了一個理論預言，讓這個領域的專家非常欣喜。在研究某些材料中的磁性原子鏈時，他發現取決於原子磁體的整體特徵，磁性原子鏈在性質上會呈顯本質上的差異。量子物理學將原子磁體分為磁性原子數為奇數與偶數兩種類型。哈爾丹演示了由偶數磁體所構成的磁性原子鏈是具有拓樸性的，奇數磁體的則不是。就如同拓樸量子流體，若只檢視一個原子鏈的一小部分，我們無法判斷一個原子鏈是否具拓樸性。同樣，就像量子流體一樣，磁性原子鏈的拓樸特徵也會在其邊緣呈現。在這種情況下，拓樸特徵以半旋的量子特性出現在拓樸原子鏈的兩端。

一開始，沒有人相信哈爾丹這個原子鏈的理論，那時的研究學者堅信這個領域的問題已經完全理解。但是事實證明，哈爾丹發現了新拓樸材料的第一個範例，現在已經成為凝聚態物理學中蓬勃發展的研究領域。

無論是量子霍爾流體，或是偶數磁性原子鏈，都屬於新的拓樸形態。之後，研究學者也在原子鏈與極薄的邊界層，甚至在普通的三維物體上發現其他預想不到的物質拓樸形態。

拓樸絕緣體、拓樸超導體與拓樸金屬現在是科學家討論的熱門話題。它們都是近十年來開拓凝聚態物理學前沿研究領域的典範。而且拓樸材料將在新一代的電子學與超導體甚至在未來的量子計算機中發揮其效用。當前的研究正持續揭示今年諾貝爾獎得主發現的平面世界的物質的奧秘。

內文及圖片來源： 

• https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2016/popular-physicsprize2016.pdf