2014 [知識列車 – 我的學思之旅] 活動側寫:第八站 暨大附中 洪萬生 教授 分享 『我的學思之旅:讓數學變得更有意義』

[2014 知識列車 – 我的學思之旅] 活動側寫報導

第八站 2014/05/22  國立暨南國際大學附屬高級中學
講師: 國立臺灣師範大學數學系  洪萬生 教授
講題:我的學思之旅:讓數學變得更有意義

活動側寫 –  吳如峰  [國立臺灣大學數學系三年級]       審訂 – 臺大科教中心

洪萬生教授是台灣致力於推廣數學教育的重要推手,在許許多多的數學科普書上都能看到他的足跡。這場演講洪教授介紹的不僅僅只是他個人的學思歷程,更把數學的演化貫穿在他的演講當中:從算術到實數的建構、從實數再到最近在孿生質數猜想上的突破,讓聽者不僅僅能因他的生平而受到鼓舞,更能在演講當中吸收到數學及學習數學的脈絡。


韓信點兵

「今有物不知其數三三數之賸二五五數之賸三七七數之賸二問物幾何」在簡單的介紹了自己小時候的生活後,洪教授拋出了這麼一個讓大家「唸唸看」的問題。

為何要唸唸看?洪教授說:「當你唸對的時候你就知道他的意思了!「數學也要用唸的,因為當你大聲地唸出來,搞不好你就會知道題目的意思了!」

讓我們知道:要學會數學之前要有足夠的閱讀能力才能把數學學好。

於是就在同學們多幾次練習後,終於把這個沒有標點的句子唸對了:「今有物不知其數,三三數之賸二,五五數之賸三,七七數之賸二,問物幾何?」意思是說:「有一個數,三個三個一數會餘二,五個五個一數會餘三,七個七個一數會餘二,請問這個數是多少?」

雖然只是個唸唸看的問題,但這就是中國經典的題目:「韓信點兵」;在代數上所謂的「中國剩餘定理」。關於這個題目,在孫子算經裡有這麼一首詩:

三人同行七十稀,

五樹梅花廿一枝,

七子團圓正半月,

除百零五便可知。

說的就是當題目出現「3、5、7」這樣的數字組合時,三個三個一數的餘數就要乘以70、五個五個一數的餘數要乘以21、七個七個一數的餘數要乘以15,把全部算的兀自加起來後除以105的餘數便是答案。

雖然在詩裡面只提到了「3、5、7」的數字組合,但其中卻可以用「類推」的想法提供了算出同類型題目的一般算術解法。而算術便是學習數學的基礎。

借鏡數學史

在洪教授的學習歷程當中有一件事情在他的生命中扮演了很重要的角色,他常常喜歡在學習了一個數學觀念後問:為什麼?為什麼學習這個東西?而當他在台師大當講師時,因緣際會下開始讀了一些數學史,並且在歷史脈絡之中看見了表達抽象數學更簡潔的方法、對於數學概念的起源有了更深刻的體會,從中得到更深入的了解。

有理數與無理數

在數學的歷史當中,數學家為了跳脫有理數而建構出無理數花了很長的一段時間來接受這個事實。在我們中學的時候,學習無理數也是一個令人頭痛的階段。但洪教授介紹了蘇俊鴻老師的教學簡報中讓我們以另一種觀點來看無理數。

所謂的有理數就是可以被寫成兩個整數相除的數,而不是有理數的數就稱為無理數,並且有理數及無理數構成了實數。在古希臘,有理數(rational number)被稱為logos,意思就是可以表達的;對於古希臘人來說,有理數就是可以用分數來表達的數。而對於每一個分數,我們都可以把它化為最簡分數,但要化為最簡分數就會牽涉到找最大公因數的問題。

我們說,如果有兩個線段中存在一個共同單位常可以把他們量盡就稱為可以公度量。因此當兩個常是整數線段的時候,我們可以很輕易地找到他們的公度量線段,那便是他們的最大公因數。但如果是分數呢?當然也是可以的,但我們找的便是他們分母的最小公倍數。

但有沒有量不盡的例子呢?由前面我們所提出的觀點,我們可以發現可以公度量的東西要不是整數、要不是分數,因此我們要檢查的就是那些不是整數也不是分數的數。

 

洪教授在這裡給了一個例子:假設今天我們給定正方形的一邊及其對角線,那這兩條線段可以公度量嗎?在這裡,如果假設他們可以公度量,那麼我們就會得出: 是有理數,因此矛盾。

孿生質數

在演講的過程中,洪教授推薦了許許多多的數學科普讀物;在推薦的同時也不斷地勉勵同學們在看這些書的時候,很有可能有許許多多的內容看不懂,但不需要妄自菲薄,因為年輕的我們有的是時間來吸收這些知識,或許在之後的某一天,當我因為這些讀物所產生的興趣而學習更多時,我就會看的懂了!

其中,洪教授介紹了幾本有關質數的書:<博士熱愛的算式>、<深夜小狗神祕習題>、<質數魔力>、<質數的孤獨>。在<質數的孤獨>這本書中提到了一種有趣的質數形式:孿生質數。若相鄰兩個質數的差值只有差2,那麼這兩個質數將被稱為孿生質數,譬如說11和13、41和43。而關於這麼有趣的數,在數學史上有這麼一個猜想(孿生質數猜想):存在無限多組孿生質數。

於此,洪教授介紹了最近在孿生質數上最大的突破:張益唐證明了存在無限多組相鄰的質數其差值小於等於70000000。

用數學的語言來說,張益唐證明了

如果這個界限可以被估計到等於2時,那麼孿生質數的猜想就會被證明為真。

結語

在這場演講當中,我們從洪教授身上看見了數學的許多別於教科書上的面貌,讓課堂上無趣的數學變得生活且有趣。還記得在演講當中,洪教授的投影片裡出現過M.Kline說過的這麼一句話:「循著歷史軌跡介紹數學,這種方式是獲得了解、深入體會的最佳途徑。」而洪教授便是將這句話奉為終身圭臬,在數學普及教育上以這樣的信念致上最深的關懷。


 

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